Dowód - nierówność

[inusia146]

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ x<-2}\) to \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2).}\)

Nierówność można przekształcić równoważnie do postaci \(\displaystyle{ (x+2)(x^2+3x+11)<0}\). Wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, wiec jednym pierwiastkiem wielomianu jest \(\displaystyle{ x=-2}\). Zatem nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x<-2}\).

Czy powyższy dowód jest poprawny? Zastanawiam się, czy w ten sposób nie dowodzę twierdzenia odwrotnego, tzn. jeśli zachodzi taka nierówność, to \(\displaystyle{ x<-2}\)...

[mikesz1738]

Witam,

W pierwszej części stwierdzasz, że \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2) \Leftrightarrow (x+2)(x^2+3x+11)<0 }\)

Z własności trójmianu kwadratowego (wartości wyróżnika i znaku współczynnika przy najwyższej potędzę zmiennej) można stwierdzić, że trójmian \(\displaystyle{ x^2+3x+11}\) zawsze przyjmuje wartości dodatnie. Wiemy też, że mnożąc liczbę dodatnią i ujemną otrzymamy liczbę ujemną.

Ponieważ \(\displaystyle{ x<-2}\) to \(\displaystyle{ x+2<0}\) i jednocześnie \(\displaystyle{ x^2+3x+11>0}\) a więc faktycznie \(\displaystyle{ (x+2)(x^2+3x+11)<0}\) co jest równoważne stwierdzeniu, że \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2)}\)

Pozdrawiam,

Michał

[inusia146]

Wiemy też, że mnożąc liczbę dodatnią i ujemną otrzymamy liczbę ujemną.

Czyli muszę tu skorzystać z założenia, czy mogę po prostu rozwiązać tę nierówność i potem zauważyć, że zbiór rozwiązań "pokrywa się" z założeniem?

[Gouranga]

nie ma tu żadnego założenia
masz iloczyn 2 czynników, żeby był ujemny to muszą być różnych znaków, trójmian zawsze jest dodatni więc czynnik liniowy musi być zawsze ujemny żeby się zgadzało

[mikesz1738]

Moim zdaniem można również tak jak sugerujesz. Jeśli rozwiążesz tą nierówność i sprawdzisz, że do zbioru rozwiązań należą wszystkie liczby mniejsze od \(\displaystyle{ -2}\) to potwierdzisz, że jeśli \(\displaystyle{ x<-2}\) to nierówność jest spełniona co jest celem zadania. Wydaje mi się nawet, że tutaj zbiór rozwiązań nie musi się dokładnie pokrywać z przedziałem \(\displaystyle{ \left(- \infty ,-2 \right) }\) bo ta nierówność może być spełniona również dla innych wartości zmiennej \(\displaystyle{ x}\) ale to nas nie interesuje bo nam zależy tutaj tylko na tym żeby nierówność była spełniona dla wszystkich \(\displaystyle{ x<-2}\).

Dobrze by było żeby ktoś mądrzejszy to sprawdził.

[Jan Kraszewski]

Czyli muszę tu skorzystać z założenia, czy mogę po prostu rozwiązać tę nierówność i potem zauważyć, że zbiór rozwiązań "pokrywa się" z założeniem?

Tak naprawdę tutaj warunki \(\displaystyle{ x<-2}\) i \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2)}\) są równoważne. Jak rozwiążesz nierówność i zauważysz, że zbiór rozwiązań pokrywa się z założeniem, to jest to trochę kwestia słów, które użyjesz. Jeśli np. napiszesz, że jeśli \(\displaystyle{ x^3+8>(2x^2+x+15)(x+2),}\) to \(\displaystyle{ x<-2}\), to wówczas formalnie uzasadnisz tylko twierdzenie odwrotne. Jeśli nie odwołujesz się w rozwiązaniu do założenia, to musisz zadbać o to, by było jasne, że wszystkie wykonywane przejścia w rozumowaniu są równoważne.

Dlatego prościej jest zrobić tak, jak napisał mikesz1738.

JK