dzielenie wielomianów z dwoma parametrami

[Jim Moriarty]

Mam zbadać dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} -(a+b)x ^{2}-(a-b)x+3 }\) i \(\displaystyle{ P(x)=(x-3)(x-1)}\).

Najsłuszniejszym pomysłem mi się tu wydawało podzielenie tych wielomianów pisemnie, a następnie przyrównanie reszty do zera. Tak też zrobiłem, ale jako wynik dzielenia wyszło mi \(\displaystyle{ x+(4-a-b)}\), a reszta mi wyszła w postaci: \(\displaystyle{ -x(5a+3b-16)+12-4a-4b}\) i tutaj zrozumiałem, że albo mój pomysł był zły albo oprócz przyrównania reszty do zera potrzebny jest jeszcze jeden warunek, bo przecież są dwie niewiadome.
Nie wiem jak dalej ruszyć.

[Janusz Tracz]

Można prościej. Zauważ, że skoro \(\displaystyle{ W}\) ma się dzielić przez \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ W(3)=W(1)=0}\). Z tego warunku dostaniesz układ dwóch równań.

PS dzielenie też jest pomysłem. Jeśli reszta to wielomian pozornie stopnia \(\displaystyle{ 1}\) to zerowanie się reszty oznacza, że ten wielomian tak naprawdę jest wielomianem zerowym (to jest wskazówka).

[JHN]

Albo:
\(\displaystyle{ W(x)\equiv P(x)\cdot (x-p)}\)
czyli trzy równania, trzy zmienne. W tym przypadku, jako pierwsze, z automatu pojawi się trzecie miejsce zerowe

Pozdrawiam