uzasadnienie miejsc zerowych wielomianu

[Jim Moriarty]

Potrzebuję uzasadnić, dlaczego wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-x ^{3}+ \frac{1}{3} x ^{2} +2x- \frac{2}{3} }\) po pomnożeniu przez 3 (i inne l. naturalne bez zera) nie zmienia swoich miejsc zerowych.
Wiem tyle, że funkcja się po prostu zwęża na wykresie i myślę, że mniej więcej rozumiem dlaczego - ale jak to ubrać w słowa, żeby było dobrze uzasadnione?

Ogólnie chodzi tu o to, że muszę skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych, a do tego potrzebuję, by wszystkie współczynniki były całkowite. Najlepiej więc gdyby to było krótkie i rzeczowe uzasadnienie.

[Jan Kraszewski]

Korzystasz wyłącznie z tego, że dla liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ ab=0 \Leftrightarrow a=0\lor b=0.}\) Skoro zatem \(\displaystyle{ a\ne 0}\), to \(\displaystyle{ b=0}\).

JK

[Jim Moriarty]

Bardzo dziękuję.