Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
DaniI
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 15 paź 2021, o 13:41
Płeć: Kobieta
wiek: 27

Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Post autor: DaniI »

\(\displaystyle{ W(x) = 9x^{4} +21x^{3} -5x^{2} -7x + 2 }\)

Oczywiście rozkład wykonany za pomocą twierdzenia Bezout, jednak podjęłam się wyzwania rozkładu poprzez grupowanie wyrazów podobnych. Od 2 godzin siedzę i nie mam pomysłu. Zatem pytanie: Czy nie da się inaczej niż przez twierdzenie Bezout ? A jeśli tak to czy każdy wielomian można rozłożyć za pomocą grupowania wyrazów podobnych i warto tą sztukę opanować ?
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Post autor: JHN »

Można np. tak:
\(\displaystyle{ w(x) = 9x^4 +21x^3 -5x^2 -7x + 2=\\
\quad =9x^4 -3x^3 +24x^3 -8x^2+3x^2 -x-6x + 2=\\
\quad =3x^3(3x-1)+8x^2(3x-1)+x(3x-1)-2(3x-1)\\
\quad =(3x-1)(3x^3+8x^2+x-2)=\ldots}\)

ale byłem mądry, bo "złapałem pierwiastek" z tw. o pierwiasku wymiernym wielomianu o współczynnikach całkowitych...
DaniI pisze: 15 paź 2021, o 13:46 ...Czy nie da się inaczej niż przez twierdzenie Bezout ? A jeśli tak to czy każdy wielomian można rozłożyć za pomocą grupowania wyrazów podobnych i warto tą sztukę opanować ?
Tak, nie, warto próbować!

Pozdrawiam
DaniI
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 15 paź 2021, o 13:41
Płeć: Kobieta
wiek: 27

Re: Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Post autor: DaniI »

\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} -3x - 2}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} -2x ^{2} +2x ^{2} -4x + x - 2 }\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{2}(x-2) +2x(x-2) +1(x-2) }\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x-2)(x^{2}+2x+1) }\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x-2)(x+1)^{2} }\)

Czyli rozumiem, że taki zapis rozkładu wielomianu na czynniki pierwsze też będzie akceptowany (np. na maturze lub egzaminie eksternistycznym) ?
Math_Logic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

Re: Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Post autor: Math_Logic »

DaniI pisze: 15 paź 2021, o 15:42 Czyli rozumiem, że taki zapis rozkładu wielomianu na czynniki pierwsze też będzie akceptowany (np. na maturze lub egzaminie eksternistycznym) ?
Tak, na maturze taki zapis będzie uznany.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Rozkład wielomianiu - wyzwanie

Post autor: piasek101 »

DaniI pisze: 15 paź 2021, o 15:42 \(\displaystyle{ W(x) = x^{3} -3x - 2}\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{3} -2x ^{2} +2x ^{2} -4x + x - 2 }\)
\(\displaystyle{ W(x) = x^{2}(x-2) +2x(x-2) +1(x-2) }\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x-2)(x^{2}+2x+1) }\)
\(\displaystyle{ W(x) = (x-2)(x+1)^{2} }\)
Ale chyba (czytałem pierwszy post) nie zamierzasz tak robić na maturze ?
ODPOWIEDZ