Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: PR713 »

mam pytanie czy mając równanie wielomianowe z parametrem ( ogólnie to wiem jak bezbłędnie rozwiązać i nie mam z tym problemu lecz znalazłem taką problematykę ), jeśli mamy polecenie do zadania, typu dla jakich wartości parametru równanie ma 3 rozwiązania ( i nie jest napisane że różne, lecz autor zadań czyli Oficyna OE Pazdro, w rzeczywistości ( w domyśle ) zakłada że są różne co mówią odpowiedzi z tyłu książki ), tak więc warunki dla np takiego równania gdzie powiedzmy wielomian można zapisać w np takiej postaci ( wymyśliłem to równanie ) \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\), co jest równe \(\displaystyle{ x(x^2+(m-1)x+2m^2-3m+4)}\), stąd więc mamy zawsze jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x = 0 }\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR }\) lecz najpierw zakładając tak jak autor zadania miał na myśli że rozwiązania mają być różne to

1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )

\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania


I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania, aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).


Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny


3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny

I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)

Czy może się mylę?

Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.



*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania

Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)

Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,


czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?


Jeśli się nigdzie nie pomyliłem.

Dodano po 48 minutach 2 sekundach:
Przepraszam że nie zamieniłem symbolu funkcji na LaTeX Panie Janie Kraszewski.


Cytując jeszcze odnośnie tego "czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie (...) rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?"

To chyba że tutaj powinno się to tak rozumieć że jeśli równanie ma np w tym trzecim przypadku: 3. Jeden pierwiastek trzykrotny, zatem ma faktycznie te 3 wymagane rozwiązania lecz po prostu nie są różne i jest to poprawne czy jednak jest to po prostu jedno rozwiązanie, tak samo jak byśmy mieli mieć 3 rozwiązania i z warunku wynikałoby że jest pierwiastek 0 oraz z równania kwadratowego 0 i na przykład 2, to są to trzy rozwiązania, lecz dwa różne?
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2021, o 17:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: matmatmm »

W przypadku równań skłaniałbym się ku interpretacji treści w ten sposób, że przykładowy napis "równanie ma 3 rozwiązania" zawsze w domyśle oznacza, że te rozwiązania są różne (podobnie jak w książkach, z których korzystasz). Jedynie w przypadku, gdy mówimy o pierwiastkach wielomianu, czyli na przykład dla napisu "wielomian ma dwa pierwiastki rzeczywiste" powiedziałbym, że można to rozumieć dwojako.
PR713 pisze: 22 wrz 2021, o 17:15 \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\), co jest równe \(\displaystyle{ x(x^2+(m-1)x+2m^2-3m+4)}\), stąd więc mamy zawsze jedno rozwiązanie równe \(\displaystyle{ x = 0 }\) dla \(\displaystyle{ m \in \RR }\) lecz najpierw zakładając tak jak autor zadania miał na myśli że rozwiązania mają być różne to

1. przypadek ( gdzie \(\displaystyle{ f(x)}\) jest tym równaniem kwadratowym )

\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0)≠0 }\),
czyli równanie początkowe ma jedno rozwiązanie oraz w rozkładzie na czynniki równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania i żadne z nich nie jest równe \(\displaystyle{ 0}\) zatem łącznie równanie (1) ma 3 różne rozwiązania

I to by było na tyle gdyby równanie miało mieć 3 "różne" rozwiązania
Napis \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x }\) nie jest równaniem. Równaniem jest \(\displaystyle{ x^3+(m-1)x^2+(2m^2-3m+4)x =0}\)
Podobnie \(\displaystyle{ f(x)}\) nie jest równaniem, tylko \(\displaystyle{ f(x)=0}\).

Poza tym analiza jest poprawna
, aczkolwiek jeśli się przyczepić że nie muszę być równe bo nie dopisał tego autor zadania ( w zbiorach Pazdro jest tak zarówno dla zadań kwadratowych jak i wielomianowych z parametrem ), to równanie kwadratowe może mieć jeszcze jedno rozwiązanie dwukrotne równe 0, bądź różne od 0, albo dwa różne rozwiązania z czego jedno jest równe \(\displaystyle{ 0}\) - zatem tak samo jak dla równań kwadratowych z parametrem, jeśli nie ma słowa różne to delta może być \(\displaystyle{ ∆=0}\) lub \(\displaystyle{ ∆> 0}\).


Tak więc dochodzą kolejne trzy przypadki
2. Przypadek
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\), tutaj równanie będzie miało pierwiastek \(\displaystyle{ 0}\) jednokrotny oraz jakiś pierwiastek dwukrotny


3. Gdy równanie \(\displaystyle{ f(x)}\) ma pierwiastek dwukrotny to łącznie całe równanie ma jeden pierwiastek ale trzykrotny, tak więc trzy rozwiązania(?)
Zatem
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0}\), równanie będzie miało pierwiastek 0 trzykrotny

I przypadek 4.
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\)

Czy może się mylę?

Pytam gdyż mój nauczyciel twierdzi że równanie zawsze ma różne rozwiązania w takich zadaniach.
Stanę po stronie nauczyciela zgodnie z moją uwagą na samym początku. Tym niemniej, gdyby polecenie brzmiało "Kiedy wielomian na trzy pierwiastki rzeczywiste?" i dopuszczalibyśmy pierwiastki wielokrotne, to Twoja analiza jest poprawna, chociaż można ją tak naprawdę skrócić do warunku \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\)


*#* Ps: natomiast jeśli mielibyśmy rozważyć kiedy takie równanie ma dwa rozwiązania no to wtedy są tylko dwa przypadki, ze względu gdy są różne rozwiązania

Tzn 1.
Równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie dwukrotne z czego jest ono różne od 0
\(\displaystyle{ ∆ = 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) ≠ 0 }\)

Oraz 2 przypadek
\(\displaystyle{ ∆ > 0 }\)
\(\displaystyle{ f(0) = 0 }\), oraz jeszcze przypadek gdy nie muszą być one różne,


czyli jedno rozwiązanie się pokrywa, stąd wynika że odnośnie równań wielomianowych z parametrem które mają mieć 3 rozwiązania niekoniecznie różne, to przypadek 2,3 i 4 nie zachodzi? Gdyż wtedy patrząc na zadanie drugie *#*( z dwoma rozwiązaniami ) mamy jakby w 2 przypadku dwa rozwiązania różne, w 3. pierwiastek 3 kr. zatem jedno rozwiązanie a miały być trzy oraz w 4. dwa rozwiązania z czego jedno dwukrotne a drugie jednokrotne?

Znowuż gdyby polecenie brzmiało "Kiedy wielomian ma dwa pierwiastki rzeczywiste" I dopuszczalibyśmy pierwiastki wielokrotne, to

Jeśli \(\displaystyle{ \Delta \geq 0}\), to wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste.
Jeśli \(\displaystyle{ \Delta<0}\), to wielomian ma jeden pierwiastek rzeczywisty.

Tutaj skłaniałbym się do interpretacji "wielomian ma dwa pierwiastki" jako "co najmniej dwa", a nie "dokładnie dwa".
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: PR713 »

**Oczywiście pisząc te wyrażenia chodziło mi że jest to \(\displaystyle{ = 0}\), tzn chodziło mi o równanie a nie o wzór funkcji, tak więc w końcu teoretycznie powinniśmy dopuszczać krotność pierwiastków, że np jeśli ma trzy rozwiązania to może mieć 3 różne rozwiązania, albo np jedno jednokrotne a drugie dwukrotne? Tak jak w warunkach w 1 poście, bo w końcu nie rozumiem jak to jest, gdyż na forum na PW egzaminator OKE napisał mi że w takich zadaniach jak on ocenia to bierze pod uwagę różne i tak jak ja myślę jest to niepoprawne, więc już nie wiem jak to jest.


Bo przecież dla równań kwadratowych na 100% jest to poprawne, że jeśli ma mieć dwa rozwiązania a nie ma słowa różne to może być jeden pierwiastek dwukrotny lub dwa różne pierwiastki jednokrotne i to potwierdza nawet jeden Pan dr Tomasz G na YouTube w swoim filmie który ma przecież doktorat i mówi że powinno się na to uwagę zwracać, zatem \(\displaystyle{ ∆ ≥ 0}\)
Ostatnio zmieniony 30 wrz 2021, o 19:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski »

PR713 pisze: 30 wrz 2021, o 18:50chodziło mi o równanie a nie o wzór funkcji, tak więc w końcu teoretycznie powinniśmy dopuszczać krotność pierwiastków, że np jeśli ma trzy rozwiązania to może mieć 3 różne rozwiązania, albo np jedno jednokrotne a drugie dwukrotne?
A cóż to jest "dwukrotne rozwiązanie równania"? Dwukrotny pierwiastek wielomianu ma sens, dwukrotne rozwiązanie równania - nie bardzo.
PR713 pisze: 30 wrz 2021, o 18:50na forum na PW egzaminator OKE napisał mi że w takich zadaniach jak on ocenia to bierze pod uwagę różne i tak jak ja myślę jest to niepoprawne, więc już nie wiem jak to jest.
Na wszelki wypadek zaznaczę, że maturę sprawdza się tak, jak klucz każe sprawdzać...
PR713 pisze: 30 wrz 2021, o 18:50Bo przecież dla równań kwadratowych na 100% jest to poprawne, że jeśli ma mieć dwa rozwiązania a nie ma słowa różne to może być jeden pierwiastek dwukrotny lub dwa różne pierwiastki jednokrotne i to potwierdza nawet jeden Pan dr Tomasz G na YouTube w swoim filmie który ma przecież doktorat i mówi że powinno się na to uwagę zwracać, zatem \(\displaystyle{ ∆ ≥ 0}\)
No i co z tego? Pan Tomasz nie jest wyrocznią.

Ale tak naprawdę to nie jest kwestia matematyczna, tylko językowa.

JK
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: matmatmm »

Jan Kraszewski pisze: 30 wrz 2021, o 20:05
PR713 pisze: 30 wrz 2021, o 18:50chodziło mi o równanie a nie o wzór funkcji, tak więc w końcu teoretycznie powinniśmy dopuszczać krotność pierwiastków, że np jeśli ma trzy rozwiązania to może mieć 3 różne rozwiązania, albo np jedno jednokrotne a drugie dwukrotne?
A cóż to jest "dwukrotne rozwiązanie równania"? Dwukrotny pierwiastek wielomianu ma sens, dwukrotne rozwiązanie równania - nie bardzo.
Na poparcie tych słów dodam, że równania są równoważne, gdy mają te same zbiory rozwiązań (patrz Formalna równoważność równań).

Gdyby chcieć powiedzieć np. o równaniu \(\displaystyle{ (x-1)^2=0}\), że ma dwukrotne rozwiązanie \(\displaystyle{ 1}\), to o równaniu mu równoważnym \(\displaystyle{ (x-1)^3=0}\) musielibyśmy powiedzieć, że ma trzykrotne rozwiązanie \(\displaystyle{ 1}\). Nie wspominając o tym, że istnieje cała masa równań równoważnych temu równaniu, które w ogóle nie są wielomianowe np. \(\displaystyle{ 2^x=2}\).
Jan Kraszewski pisze: 30 wrz 2021, o 20:05 Ale tak naprawdę to nie jest kwestia matematyczna, tylko językowa.
Częściowo się zgodzę, aczkolwiek mówienie o "dwukrotnym rozwiązaniu równania" zakrawa chyba o błąd - jest to tworzenie pojęcia, które nie ma jakiejś sensownej definicji. Stąd zapewne wynikają tak jednoznaczne zasady oceniania w tej kwestii.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Rozwiązania równania wielomianowego z parametrem

Post autor: Jan Kraszewski »

matmatmm pisze: 30 wrz 2021, o 20:57Częściowo się zgodzę, aczkolwiek mówienie o "dwukrotnym rozwiązaniu równania" zakrawa chyba o błąd - jest to tworzenie pojęcia, które nie ma jakiejś sensownej definicji.
Zgadza się.

Tyle że mam wrażenie, że w praktyce szkolnej rozróżnienie rozwiązania równania wielomianowego (miejsca zerowych funkcji wielomianowej) i pierwiastka wielomianu nie jest dobrze ugruntowane i stąd potem te zbitki myślowe typu "dwukrotne rozwiązanie równania". Zresztą we wspomnianym filmie na YT (

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=tq0P7CjG7r8
) dr Tomasz Grębski (Profesor Oświaty) analizuje (i rozróżnia) dwie sytuacje w odniesieniu do równania kwadratowego: "dwa różne rozwiązania" i "dwa rozwiązania", łącząc tę drugą z nieujemnością wyróżnika, co zapewne pokazuje pewną szkolną tendencję.

JK
ODPOWIEDZ