Postać iloczynowa wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Postać iloczynowa wielomianu

Post autor: PR713 »

Mam pytanie odnośnie tego o czym tutaj pisałem, a mianowicie tylko o to co jest napisane od postu 4 oraz 5,

Trudne równanie wielomianowe

Gdyż wielomian np stopnia \(\displaystyle{ 3}\) zapisujemy jako


\(\displaystyle{ W(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}\) albo np wiedząc że ma jeden pierwiastek jednokrotny \(\displaystyle{ -2}\), tzn

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)}\) gdzie po prostu trójmian ma \(\displaystyle{ \Delta < 0}\). Natomiast czy można to zapisać jako
\(\displaystyle{ W(x)=a(x+2)(x^2+bx+c)}\) tak jak napisała osoba w tym poście? Gdyż mi się wydaje to niepoprawnym zapisem, jeśli się mylę proszę o uzasadnienie.

Mam też pytanie czy gdybym wiedział że np wielomian stopnia też akurat \(\displaystyle{ 3}\), ma pierwiastek powiedzmy \(\displaystyle{ 2}\) dwukrotny oraz jakiś nieznany jednokrotny to czy można taki wielomian zapisać jako
\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2(ax+b)}\) ? Gdzie \(\displaystyle{ a}\) to współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu. Czy może powinno się ten czynnik zapisać jakoś inaczej a nie \(\displaystyle{ ax+b}\) tak samo jak dla wielomianów o wyższych stopniach np trójmian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) albo \(\displaystyle{ ax^2+bx^2+cx+d}\) itd.?

Ps: Oczywiście od razu uświadamiam, że wiem że jeśli trójmian kwadratowy się rozkłada na czynniki to postać iloczynowa jest postaci \(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)}\)
Ostatnio zmieniony 21 wrz 2021, o 23:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 668
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 206 razy

Re: Postać iloczynowa wielomianu

Post autor: JHN »

Zapisy
PR713 pisze: 21 wrz 2021, o 23:13 ...
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)}\) gdzie po prostu trójmian ma \(\displaystyle{ \Delta < 0}\). Natomiast czy można to zapisać jako
\(\displaystyle{ W(x)=a(x+2)(x^2+bx+c)}\) tak jak napisała osoba w tym poście? Gdyż mi się wydaje to niepoprawnym zapisem, jeśli się mylę proszę o uzasadnienie.
nie są równoważne, ale
\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=a(x+2)(x^2+b_1x+c_1)}\)
już tak! Oczywiście dla \(\displaystyle{ \begin{cases} b=ab_1\\ c=ac_1\end{cases} }\)
Osobiście wolę drugą z tych wersji!

Pozdrawiam
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Postać iloczynowa wielomianu

Post autor: PR713 »

Dobrze rozumiem, tak przez chwilę myślałem :) i zatem ta postać wielomianu też jest zawsze prawdziwa. Lecz chyba i tak prostsze i mniej skomplikowana jest postać 1. Wielomianu, czyli tak jak się pisze w większości książek i przy rozwiązywaniu zadań.
Gdyż trochę można namieszać podstawiając za \(\displaystyle{ b = a\cdot b_1 }\) i za \(\displaystyle{ c}\)...

Dodano po 35 minutach 12 sekundach:
W książkach - mam na myśli w zbiorach zadań i podręcznikach oraz tak też zawsze rozwiązują różne osoby publiczne takie zadania

Dodano po 14 minutach 36 sekundach:
Też mam właśnie wątpliwość co do takiej postaci iloczynowej, gdyż dodajemy za \(\displaystyle{ b = a\cdot b_1}\) a przecież współczynnik \(\displaystyle{ a}\) stoi już przy \(\displaystyle{ x^2 }\) tak więc chyba nie możemy sobie tego tak zapisać że \(\displaystyle{ ax^2+bx+c }\) i to po podstawieniu \(\displaystyle{ = a(x^2+b_1\cdot x +c_1) }\), chyba już prędzej podstawić za \(\displaystyle{ b}\) coś z \(\displaystyle{ b_1 }\) ale bez \(\displaystyle{ a}\) bo nie wiem jakim prawem tak można podstawić i od tak wyciągnąć sobie \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ x^2 }\).
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2021, o 17:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Postać iloczynowa wielomianu

Post autor: matmatmm »

Spróbuję rozwiać wątpliwości. Załóżmy, że mamy wielomian 3-go stopnia \(\displaystyle{ W}\), który da się zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)}\),

gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\) i trójmian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) ma wyróżnik mniejszy od zera.

Jest dość oczywiste, że wielomian ten nie jest równy wielomianowi \(\displaystyle{ V}\) o wzorze:

\(\displaystyle{ V(x)=a(x+2)(x^2+bx+c)}\)

(chyba, że \(\displaystyle{ b=c=0}\), ale to skrajny przypadek).

Tym niemniej wielomian \(\displaystyle{ W}\) da się zapisać jako

\(\displaystyle{ W(x)=a(x+2)(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})}\)

a wyróżnik trójmianu \(\displaystyle{ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}\) wynosi \(\displaystyle{ \Delta=\left(\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{a^2}<0}\)

Innymi słowy, jeśli wielomian daje się zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x+2)(ax^2+bx+c)}\), to daje się zapisać także w postaci \(\displaystyle{ a(x+2)(x^2+b'x+c')}\), ale na ogół przy pomocy innych współczynników (stąd primy).
PR713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 sty 2021, o 21:22
Płeć: Mężczyzna
wiek: 0
Podziękował: 7 razy

Re: Postać iloczynowa wielomianu

Post autor: PR713 »

Tak już rozumiem!, źle to przeczytałem pochopnie, gdyż sam na początku takie podstawienia robiłem...
Wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)}\), można zapisać jako \(\displaystyle{ W(x)=a(x+2)(x^2+b_1x+c_1)}\), gdzie \(\displaystyle{ b = a\cdot b_1 }\) itd. nieważne :)
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2021, o 20:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości: nieważne. Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
ODPOWIEDZ