Wspólny pierwiastek

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Wspólny pierwiastek

Post autor: mol_ksiazkowy »

Równania \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+x+1=0}\) mają wspólny pierwiastek ;wyznaczyć go.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Wspólny pierwiastek

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ x^4+x+1=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^4+x+1 = x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^4+x+1 = x^4 + \left( p+r\right) x^3+\left( q+s + pr\right) x^2+\left( ps+qr\right)x+qs\\
\begin{cases} p + r = 0 \\ q+s + pr = 0 \\ ps+qr = 1\\ qs = 1 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s - p^2 = 0 \\ ps-pq = 1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ p\left( q-s\right) = -1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ q-s = -\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ 2q = p^2-\frac{1}{p} \\ 2s = p^2+\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\left( p^2- \frac{1}{p} \right)\left( p^2+ \frac{1}{p} \right) =4\\
p^4 - 4 - \frac{1}{p^2} =0\\
p^6 - 4p^2 - 1 = 0\\
p^2 = y\\
y^3 - 4y - 1 = 0\\
y = u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-4\left( u+v\right) - 1 = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)uv - 4\left( u+v\right) = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right) \\
\begin{cases} u^3+v^3 - 1 = 0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv - \frac{4}{3} =0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv = \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ u^3v^3 = \frac{64}{27} \end{cases} \\
t^2-t+\frac{64}{27}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{64}{27}-\frac{1}{4} \\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{256-27}{108}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{687}{324}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{687}i }{18} \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{9- \sqrt{687}i }{18} \right)=0\\
\left( t- \frac{108+12\sqrt{687}i}{216} \right)\left( t- \frac{108-12\sqrt{687}i}{216} \right) = 0\\
y = \frac{1}{6}\left( \sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}+ \sqrt[3]{108-12\sqrt{687}i} \right) \\
}\)

\(\displaystyle{
\sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}\\
r = \sqrt{108^2+144 \cdot 687} = \sqrt{11664+144 \cdot 687} = 192 \sqrt{3} \\
\varphi = \arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }\\
y= \frac{1}{6} \cdot \left( 4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right)+4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right) \right) \\
y = \frac{12\sqrt{3}}{9}\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }\\
p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} \\
}\)


Teraz rozkład wielomianu czwartego stopnia na czynniki kwadratowe wygląda następująco

\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)


Gdy policzymy wyróżniki tych trójmianów kwadratowych to okaże się że są one ujemne
Mamy zatem cztery parami sprzężone pierwiastki zespolone tego wielomianu czwartego stopnia

Jeżeli przyjmiemy że zarówno współczynniki wielomianów jak i zmienna należą do zbioru liczb rzeczywistych to
będziemy mieli dwa wspólne pierwiastki obydwa można otrzymać z rozłożenia tych trójmianów kwadratowych
i dostaniemy dwie pary rozwiązań

Moja pierwsza myśl to było obliczenie NWD wielomianów algorytmem Eulkidesa (braniem reszt z kolejnych dzieleń)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wspólny pierwiastek

Post autor: a4karo »

Na czym ma polegać rozwiązanie tego zadania? Na wskazaniu `a` i `b`? Wielomanów postaci `x^3+ax+b`, które mają wspólny pierwiastek z danym jest nieskończenie wiele.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Wspólny pierwiastek

Post autor: Mariusz M »

a4karo pisze: 16 sie 2021, o 11:19 Wielomanów postaci `x^3+ax+b`, które mają wspólny pierwiastek z danym jest nieskończenie wiele.
Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b,x \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany


\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p- \frac{1}{p} \right)x+ \frac{1}{2}\left( p^2+1\right) \\
x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p+ \frac{1}{p} \right)x - \frac{1}{2}\left( p^2-1\right) \\
}\)


gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)

Dodano po 1 godzinie 22 minutach 39 sekundach:
Tutaj miałem literówkę w rozkładzie

\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p^2- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p^2 + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)

Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany

\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2+1\right)x- \frac{1}{2}\left( p^3-1\right) }\)
oraz
\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2-1\right)x + \frac{1}{2}\left( p^3+1\right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)


natomiast przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{C}}\)
to możliwe że tych wielomianów jest nieskończenie wiele
ODPOWIEDZ