Wspólny pierwiastek
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11409
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Wspólny pierwiastek
Równania \(\displaystyle{ x^3+ax+b=0}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+x+1=0}\) mają wspólny pierwiastek ;wyznaczyć go.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Wspólny pierwiastek
\(\displaystyle{ x^4+x+1=\left( x^2+px+q\right)\left( x^2+rx+s\right) \\
x^4+x+1 = x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^4+x+1 = x^4 + \left( p+r\right) x^3+\left( q+s + pr\right) x^2+\left( ps+qr\right)x+qs\\
\begin{cases} p + r = 0 \\ q+s + pr = 0 \\ ps+qr = 1\\ qs = 1 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s - p^2 = 0 \\ ps-pq = 1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ p\left( q-s\right) = -1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ q-s = -\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ 2q = p^2-\frac{1}{p} \\ 2s = p^2+\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\left( p^2- \frac{1}{p} \right)\left( p^2+ \frac{1}{p} \right) =4\\
p^4 - 4 - \frac{1}{p^2} =0\\
p^6 - 4p^2 - 1 = 0\\
p^2 = y\\
y^3 - 4y - 1 = 0\\
y = u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-4\left( u+v\right) - 1 = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)uv - 4\left( u+v\right) = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right) \\
\begin{cases} u^3+v^3 - 1 = 0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv - \frac{4}{3} =0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv = \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ u^3v^3 = \frac{64}{27} \end{cases} \\
t^2-t+\frac{64}{27}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{64}{27}-\frac{1}{4} \\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{256-27}{108}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{687}{324}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{687}i }{18} \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{9- \sqrt{687}i }{18} \right)=0\\
\left( t- \frac{108+12\sqrt{687}i}{216} \right)\left( t- \frac{108-12\sqrt{687}i}{216} \right) = 0\\
y = \frac{1}{6}\left( \sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}+ \sqrt[3]{108-12\sqrt{687}i} \right) \\
}\)
\(\displaystyle{
\sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}\\
r = \sqrt{108^2+144 \cdot 687} = \sqrt{11664+144 \cdot 687} = 192 \sqrt{3} \\
\varphi = \arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }\\
y= \frac{1}{6} \cdot \left( 4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right)+4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right) \right) \\
y = \frac{12\sqrt{3}}{9}\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }\\
p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} \\
}\)
Teraz rozkład wielomianu czwartego stopnia na czynniki kwadratowe wygląda następująco
\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)
Gdy policzymy wyróżniki tych trójmianów kwadratowych to okaże się że są one ujemne
Mamy zatem cztery parami sprzężone pierwiastki zespolone tego wielomianu czwartego stopnia
Jeżeli przyjmiemy że zarówno współczynniki wielomianów jak i zmienna należą do zbioru liczb rzeczywistych to
będziemy mieli dwa wspólne pierwiastki obydwa można otrzymać z rozłożenia tych trójmianów kwadratowych
i dostaniemy dwie pary rozwiązań
Moja pierwsza myśl to było obliczenie NWD wielomianów algorytmem Eulkidesa (braniem reszt z kolejnych dzieleń)
x^4+x+1 = x^4+rx^3+sx^2+px^3+prx^2+psx+qx^2+qrx+qs\\
x^4+x+1 = x^4 + \left( p+r\right) x^3+\left( q+s + pr\right) x^2+\left( ps+qr\right)x+qs\\
\begin{cases} p + r = 0 \\ q+s + pr = 0 \\ ps+qr = 1\\ qs = 1 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s - p^2 = 0 \\ ps-pq = 1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ p\left( q-s\right) = -1\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ q+s = p^2 \\ q-s = -\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\begin{cases} r = -p \\ 2q = p^2-\frac{1}{p} \\ 2s = p^2+\frac{1}{p}\\ 4qs = 4 \end{cases} \\
\left( p^2- \frac{1}{p} \right)\left( p^2+ \frac{1}{p} \right) =4\\
p^4 - 4 - \frac{1}{p^2} =0\\
p^6 - 4p^2 - 1 = 0\\
p^2 = y\\
y^3 - 4y - 1 = 0\\
y = u+v\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3-4\left( u+v\right) - 1 = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)uv - 4\left( u+v\right) = 0\\
u^3+v^3 - 1 +3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right) \\
\begin{cases} u^3+v^3 - 1 = 0 \\ 3\left( u+v\right)\left( uv - \frac{4}{3} \right)=0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv - \frac{4}{3} =0 \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ uv = \frac{4}{3} \end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3=1 \\ u^3v^3 = \frac{64}{27} \end{cases} \\
t^2-t+\frac{64}{27}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{64}{27}-\frac{1}{4} \\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{256-27}{108}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} \right)^2+\frac{687}{324}=0\\
\left( t- \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{687} }{18}i \right)=0\\
\left( t- \frac{9+ \sqrt{687}i }{18} \right)\left( t- \frac{1}{2} + \frac{9- \sqrt{687}i }{18} \right)=0\\
\left( t- \frac{108+12\sqrt{687}i}{216} \right)\left( t- \frac{108-12\sqrt{687}i}{216} \right) = 0\\
y = \frac{1}{6}\left( \sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}+ \sqrt[3]{108-12\sqrt{687}i} \right) \\
}\)
\(\displaystyle{
\sqrt[3]{108+12\sqrt{687}i}\\
r = \sqrt{108^2+144 \cdot 687} = \sqrt{11664+144 \cdot 687} = 192 \sqrt{3} \\
\varphi = \arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }\\
y= \frac{1}{6} \cdot \left( 4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }+i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right)+4 \sqrt{3}\left(\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }-i\sin{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) } \right) \right) \\
y = \frac{12\sqrt{3}}{9}\cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }\\
p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} \\
}\)
Teraz rozkład wielomianu czwartego stopnia na czynniki kwadratowe wygląda następująco
\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)
Gdy policzymy wyróżniki tych trójmianów kwadratowych to okaże się że są one ujemne
Mamy zatem cztery parami sprzężone pierwiastki zespolone tego wielomianu czwartego stopnia
Jeżeli przyjmiemy że zarówno współczynniki wielomianów jak i zmienna należą do zbioru liczb rzeczywistych to
będziemy mieli dwa wspólne pierwiastki obydwa można otrzymać z rozłożenia tych trójmianów kwadratowych
i dostaniemy dwie pary rozwiązań
Moja pierwsza myśl to było obliczenie NWD wielomianów algorytmem Eulkidesa (braniem reszt z kolejnych dzieleń)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wspólny pierwiastek
Na czym ma polegać rozwiązanie tego zadania? Na wskazaniu `a` i `b`? Wielomanów postaci `x^3+ax+b`, które mają wspólny pierwiastek z danym jest nieskończenie wiele.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Wspólny pierwiastek
Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b,x \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany
\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p- \frac{1}{p} \right)x+ \frac{1}{2}\left( p^2+1\right) \\
x^3- \frac{1}{2}\left( 2p^2-p+ \frac{1}{p} \right)x - \frac{1}{2}\left( p^2-1\right) \\
}\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)
Dodano po 1 godzinie 22 minutach 39 sekundach:
Tutaj miałem literówkę w rozkładzie
\(\displaystyle{ x^4+x+1 = \left( x^2+px+ \frac{1}{2}\left( p^2- \frac{1}{p} \right) \right)\left( x^2 - px+ \frac{1}{2}\left( p^2 + \frac{1}{p} \right) \right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)
Przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}}\)
mamy tylko dwa takie wielomiany
\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2+1\right)x- \frac{1}{2}\left( p^3-1\right) }\)
oraz
\(\displaystyle{ x^3- \frac{1}{2}\left( p^2-1\right)x + \frac{1}{2}\left( p^3+1\right) }\)
gdzie \(\displaystyle{ p = \frac{2 \sqrt{3} }{3} \sqrt{ \sqrt{3} \cos{\left( \frac{\arctg{\left( \frac{\sqrt{687}}{9} \right) }}{3} \right) }} }\)
natomiast przy założeniu że \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{C}}\)
to możliwe że tych wielomianów jest nieskończenie wiele