Strona 1 z 1

Zbiór zadań - WIELOMIANY

: 6 mar 2005, o 16:46
autor: Arek
[size=150][b]
[center]ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - WIELOMIANY[/center]
[/b]
[/size]

[center](po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)[/center]

[center][color=green]Aktualizacja: 16.09.2011[/color][/center]


[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=45]1.[/url][/b] Wyznacz wartości parametru [latex]a[/latex], dla którego suma współczynników wielomianu [latex]W \left( x \right) = \left( \left( x^{2} + 5x - 7 \right) ^{1999} \right) \left( ax^{2} + 2x - 2000 \right)[/latex] wynosi [latex]-2[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=376]2.[/url][/b] Wyznaczyć liczby [latex]p[/latex] i [latex]q[/latex] takie, że liczba [latex]3[/latex] jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu [latex]W(x) = x^3 - 5x^2 + px +q[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=376]3.[/url] [/b] Wyznaczyć współczynniki [latex]a,b[/latex] funkcji [latex]f(x) = ax^2 + bx - \frac{3}{4}[/latex] wiedząc, że osiąga ona wartość najmniejszą dla [latex]x=1[/latex] i punkt o współrzędnych [latex](5,3)[/latex] należy do jej wykresu.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=376]4.[/url][/b] Funkcja kwadratowa [latex]f(x) = ax^2 + bx+c[/latex], gdzie [latex]a \neq 0[/latex] o wspołczynnikach całkowitych ma dokładnie 1 miejsce zerowe. Wyznaczyć te funkcje jeżeli wiadomo, że do jej wykresu należą punkty [latex](0,2)[/latex] oraz [latex](4,50)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=264]5.[/url][/b] Wyznacz wszystkie takie liczby rzeczywste [latex]x[/latex], że wartość wyrażenia [latex]\frac{2x^{3} + 5x^{2} + 4}{2x+1}[/latex] należy do zbioru liczb całkowitych.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=576]6.[/url] [/b] Dla jakiej wartości parametru [latex]m[/latex] przy dzieleniu wielomianu [latex]3x^{3} + mx^{2} - 4x + 2[/latex] przez [latex]x-2[/latex] otrzymamy resztę równą [latex]6[/latex]?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=576]7.[/url] [/b] Wyznaczyć [latex]a, b[/latex] takie, że wielomian [latex]x^4 - 3x^{3} + 6x^{2} +ax +b[/latex] jest podzielny przez [latex]x^2 - 1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=576]8.[/url] [/b] Wykazać, że dla każdego naturalnego [latex]n[/latex], wielomian [latex](x-2)^{2n} + (x-1)^{n} - 1[/latex] jest podzielny przez [latex](x-1)(x-2)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=617]9.[/url][/b] Wyznaczyć wartości [latex]m[/latex], dla których równanie [latex](m-2)x^4 - 2(m+3)x^2 + (m-1) = 0[/latex] ma cztery pierwiastki różne od 0.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=617]10.[/url][/b] Wiedząc, że liczby 2 i 3 są pierwiastkami równania [latex]2x^{3} + mx^2 - 13x + n = 0[/latex] obliczyć [latex]m[/latex] i [latex]n[/latex] oraz wyznaczyć trzeci pierwiastek.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=617]11.[/url][/b] Wyznaczyć sumę współczynników wielomianu [latex]\left( x^{3} - x + 1 \right) ^{50} + \left( 2x^{2} - 2x + 1 \right) ^{30}[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=631]12.[/url][/b] Sprawdzić, nie wykonując dzielenia, czy wielomian [latex]x^{10} + 3x^2 - 1[/latex] ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=631]13.[/url] [/b] Sprawdzić bez dzielenia, czy liczba [latex]1[/latex] jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu [latex]10x^{11} - 11x^{10} + 1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=631]14.[/url][/b] Pokazać, że nie ma pierwiastków następujący wielomian: [latex]x^{4} - x^{2} + 1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=557]15.[/url][/b] Niech [latex]p(x)[/latex] będzie wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Wyznaczyć wartość wyrażenia [latex]\int_{0}^{2} \left( p ' \left( x \right) \cdot x \right) \mbox{d}x[/latex] wiedząc, że [latex]p(0) = p(2) = 3 \ \wedge \ p'(0) = p'(2) = -1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=788]16.[/url][/b] Liczba [latex]p[/latex] jest pierwiastkiem wielomianu [latex]W(x)[/latex]. Wyznacz pozostałe pierwiastki rownania [latex]W(x)=0[/latex], wiedząc, że [latex]W(x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1[/latex], [latex]p = \frac{1}{2}[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=788]17.[/url][/b] Wyznacz i podaj krotność pierwiastków wielomianu [latex]W(x) = -x^{4} \left( x^2 - 1 \right) \left( 3x+3 \right) \left( x+1 \right) ^2[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=857]18.[/url][/b] Reszta z dzielenia wielomianu [latex]W(x)[/latex] przez [latex]x-2[/latex] wynosi [latex]3[/latex]. Reszta z dzielenia [latex]W(x)[/latex] przez [latex]x+1[/latex] wynosi [latex]-6[/latex]. Ile wynosi reszta z dzielenia tego wielomianu przez [latex]x^2 - x - 2[/latex]?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=962]19.[/url][/b] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex] iloczyn wielomianów [latex]f[/latex] i [latex]g[/latex] jest równy wielomianowi [latex]h[/latex], gdzie:
a) [latex]f(x) = \frac{1}{2}mx - 2[/latex],
[latex]g(x) = x + 2m + 1[/latex],
[latex]h(x) = x^2 +4x - 21[/latex]

b) [latex]f(x) = mx + 1[/latex],
[latex]g(x) = x - 2m[/latex].
[latex]h(x) = 2x^2 - 3x + 1[/latex]

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1002]20.[/url][/b] Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, posiadającego pierwiastek [latex]\sqrt{5} + \sqrt{7}[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1013]21.[/url][/b] Pokazać, że dla dowolnego całkowitego [latex]c[/latex], wartości wielomianu [latex]x^5 - 5x^3 + 4x[/latex] są liczbami podzielnymi przez [latex]120[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1075]22.[/url] [/b] Liczba [latex]1[/latex] jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu [latex]W(x) = x^3 + mx^2 - 7x + n[/latex]. Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1074]23.[/url][/b] Rozłożyć na czynniki (stopnia najniżej pierwszego) wielomiany:
[latex]W(x) = x^4 + 7x^3 + 10x^2 \\
W(x) = 8x^5 + 6x^4 - 2x^3 \\
W(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x[/latex]


[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1081]24.[/url][/b] Obliczyć sumę współczynników wielomianu [latex]W(x) = \left( 4x^2 - 3x - 2 \right) ^{2003}[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1246]25.[/url][/b] Udowodnij wzory Viete'a dla wielomianu stopnia 3.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1311]26.[/url][/b] Rozłożyć na czynniki wielomian [latex]W(x) = x^4 + x^2 + 1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1359]27.[/url][/b] Reszta z dzielenia wielomianu [latex]W(x)[/latex] przez dwumian [latex]x-2[/latex] jest równa [latex]5[/latex], a reszta z dzielenia [latex]W(x)[/latex] przez [latex]x-3[/latex] wynosi [latex]7[/latex]. Wyznacz reszte z dzielenia [latex]W(x)[/latex] przez [latex](x-2)(x-3)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1522]28.[/url][/b] Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu [latex]W(x)[/latex] przez wielomian [latex]P(x) = (x+1)(x-1)(x-2)[/latex] wiedząc, że [latex]W(-1) = -1[/latex] , [latex]W(1) = 1[/latex] , [latex]W(2) = 2[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1522]29.[/url][/b] Wiedząc, że równanie [latex]x^2 + x^3 - 7x^2 + ax + b = 0[/latex] ma rozwiązania [latex]x=1[/latex] oraz [latex]x=-1[/latex], rozwiązać nierówność: [latex]x^4 + x^3 - 7x^2 + ax+ b > 0[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1544]30.[/url][/b] Nie używając dzielenia wielomianów rozstrzygnij, czy wielomian [latex]d(x) = x^2 - 1[/latex] jest dzielnikiem [latex]w(x) = -3x^4 + 4x^2 - 5x + 7[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1385]31.[/url][/b] Wyznacz wszystkie wartości parametru [latex]a[/latex], dla których wielomian [latex]W(x) = (4a+3)x^{3} + 9ax^{2} + 6ax + a + 2[/latex] może być przedstawiony jako trzecia potęga pewnego dwumianu.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1655]32.[/url][/b] Rozłóż na czynniki wielomian [latex]x^{4} + 1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1650]33.[/url][/b] Wyznacz stopień wielomianu [latex]W(x) = \left( x+1 \right) \left( x^2+1 \right) \left( x^4+1 \right) \ldots \left( x^{2n} +1 \right)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1650]34.[/url][/b] Wyznacz współczynniki przy [latex]x^9[/latex] i [latex]x^{10}[/latex] w wielomianie [latex]W(x) = \left( x-1 \right) \left( x-2 \right) \left( x-3 \right) \ldots \left( x-10 \right)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1650]35.[/url][/b] Wyznacz sumę współczynników wielomianu [latex]W(x) = 3 \left( \left( x^3-3x+3 \right) ^{2002} \right) -4 \left( \left( x^3+2x^2-4 \right) ^{2003} \right)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1699]36.[/url][/b] Wykaż, że jeżeli [latex]f(x)[/latex] jest dowolnym wielomianem, zaś para; [latex]a[/latex] - dowolną liczbą rzeczywistą, to wielomian [latex]f(x) - f(a)[/latex] jest podzielny przez [latex]x - a[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1699]37.[/url][/b] Niech [latex]r(p,q)[/latex] oznacza resztę z dzielenia wielomianu [latex]p(x)[/latex] przez [latex]q(x)[/latex]. Udowodnij, że wyrażenie [latex]r \left( p_{1}+p_{2},q \right) =r \left( p_{1},q \right) +r \left( p_{2},q \right)[/latex] jest dzielnikiem [latex]r \left( \left( p_{1} \right) \left( p_{2} \right) ,q \right) =r \left( \left[ r \left( p_{1},q \right) \right] \left[ r \left( p_{2},q \right) \right] ,q \right)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=1867]38.[/url][/b] Dla jakich wartości parametru [latex]a[/latex], równanie [latex]x^4 - (a+1)x^2 + 4 = 0[/latex] ma cztery różne pierwiastki?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2117]39.[/url][/b] Udowodnij, że dla każdego [latex]x[/latex] rzeczywistego, zachodzi nierówność [latex]x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1>0[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2045]40.[/url][/b] Rozłóż na czynniki wielomiany:
[latex]W(x) = 2x^3 - 5x^2 - 8x + 20 \\
W(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6[/latex]


[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2181]41.[/url][/b] Rozłóż na czynniki i podaj pierwiastki wielomianów:
[latex]W(x) = 125x^3 - 27 \\
W(x) = 8x^4 + 27x \\
W(x) = 4x^4 + 9[/latex]


[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=44]42.[/url][/b] Wyznacz wartości parametru [latex]a[/latex], tak, że suma współczynników wielomianu [latex]W(x) = \left( x^2 + 5x - 7 \right) ^{1999} \left( ax^2 +2x - 2000 \right)[/latex] wynosiła [latex]-2[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2200]43.[/url][/b] Suma pierwiastków trójmianu kwadratowego [latex]g[/latex] jest równa [latex]-1[/latex], zaś iloczyn tych pierwiastków [latex]-2[/latex]. Zapisz wzór w postaci ogólnej jeśli [latex]g(0)=6[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2441]44.[/url] [/b] Rozłóż na czynniki wielomiany:
[latex]x+y+2x+2y \\
ax+ay+bx-by \\
my-m-y+1 \\
a+ab-b-1 \\
3x^2+2x+3xy+2y \\
mx+my+kx+gx+ky+gy[/latex]


[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2445]45.[/url][/b] Nie wykonując dzielenia znajdż resztę z dzielenia wielomianu [latex]W(x)[/latex] przez wielomian [latex]U(x)[/latex], wiedząc że [latex]W(x) = x^5 - x^3 + x^2 - 1[/latex] i [latex]U(x) = (x-1)(x+1)(x+2)[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2486]46.[/url][/b] Rozłóż wielomian [latex]ax-ay+bx-by[/latex] na czynniki.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2520]47.[/url][/b] Wielomian rzeczywisty [latex]W(x)[/latex] przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych, jeżeli [latex]W(x) = x^6 + 8[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2580]48.[/url][/b] Dowód twierdzienia o istnieniu pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych.

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2634]49.[/url][/b] Bez obliczania pierwiastków wyznaczyć sumę ich odwrotności, jeżeli równanie ma postać [latex]2x^2 + 4x +1 = 0[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2682]50.[/url][/b] Rozwiązać równanie [latex]|x^3+x+1| = 1[/latex] i nierówność: [latex]\left| x^2-4\right| \left( x^3-1 \right) <0[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3579]51.[/url][/b] Dla jakich wartości parametrów [latex]a, b[/latex] liczba [latex]x_0 = -1[/latex] jest pierwiastkiem wielomianu [latex]W(x)=6x^4+8x^3-8x^2+ax+b[/latex]?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3591]52.[/url][/b] Znajdź trójmian kwadratowy [latex]y=x^2 + bx + c[/latex], wiedząc, że suma jego pierwiastków jest równa [latex]8[/latex] i dla [latex]x=0[/latex] przyjmuje wartość [latex]15[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=373]53.[/url] [/b] Wiedząc, że trójmian [latex]ax^2 + bx + c[/latex] przyjmuje wartość największą równą [latex]11[/latex] dla [latex]x=3[/latex], obliczyć resztę z dzielenia wielomianu [latex]W(x) = 2x^4+4x^3+ax^2+bx+2[/latex] przez [latex]x-1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3921]54.[/url][/b] Przy jakich wartościach [latex]a, b[/latex] trójmian [latex]ax^{20} + bx^{19} + 1[/latex] dzieli się przez [latex]x^2 + x + 1[/latex]?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3921]55.[/url][/b] Dany jest wielomian [latex]W(x) = ax^2 + bx + c[/latex], przy czym:
[latex]W \left( 1 \right) = m+2 \\
W \left( \frac{1}{3} \right) = m \\
W \left( - \frac{1}{3} \right) = m - 2[/latex]

gdzie [latex]m[/latex] jest pewną liczbą. Pokazać, że [latex]W(x)[/latex] jest wielomianem stopnia [latex]1[/latex].

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3898]56.[/url][/b] Dla jakich wartości parametru [latex]m[/latex], wielomian [latex]P(x) = x^4 + mx^3 - \left( m+1 \right) x^2 - mx + m[/latex] ma cztery pierwiastki?

[b][url=http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4042]57.[/url][/b] Doprowadź do postaci iloczynowej lewą stronę równania [latex]24x^3 -2x^2 -9x +2 = 0[/latex].

Zbiór zadań - WIELOMIANY

: 21 mar 2009, o 09:08
autor: klaustrofob
Czy ktoś mógłby poprawić zapis w zadaniu 15?

Zbiór zadań - WIELOMIANY

: 23 gru 2010, o 13:42
autor: zjemcichleb93
zadanie 1.
Suma współczynników równa sie W(1) więc:
\(\displaystyle{ W(1)=-2}\)

\(\displaystyle{ W(1)=((1+5-7)^{1999})(a+2-2000)=(-1)^{1999}(a-1998)=-a+1998}\)

\(\displaystyle{ -2=-a+1998}\)

\(\displaystyle{ a=2000}\)

Zbiór zadań - WIELOMIANY

: 23 gru 2010, o 13:46
autor: miodzio1988
zjemcichleb93, w treści zadania masz przecież napisane, że \(\displaystyle{ W(1)=-2}\)

Więc źle zrobiłeś zadanie. Po kliknięciu na numerek zadania przecież masz poprawne rozwiązanie