Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
szalonykon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 lut 2021, o 11:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: szalonykon »

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.

Próbowałem to przemnożyć i uporządkować, albo doprowadzić do jakiejś postaci iloczynowej, ale niestety nic mądrego mi nie wyszło.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 18:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: Janusz Tracz »

szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.
To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\). Twierdzenie odwrotne też jest nieprawdziwie.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 18:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieprawda.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\).
Słaby argument:
szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera,
JK
szalonykon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 lut 2021, o 11:25
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Re: Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: szalonykon »

Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35
szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera, wartość wyrażenia \(\displaystyle{ (a-1)^2 (a+1)^2 - a(1-2a)^3 -12a^3 - a}\) jest ujemna.
To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\). Twierdzenie odwrotne też jest nieprawdziwie.
Dla \(\displaystyle{ a=0}\) wartość wyrażenia wyszła mi równa \(\displaystyle{ 1}\). Rozumiem, że w twierdzeniu odwrotnym miałbym wykazać, że wartośc wyrażenia jest nieujemna? Bo jeżeli tak to wyszła mi nieujemna.
Ostatnio zmieniony 21 mar 2021, o 19:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: Janusz Tracz »

Jan Kraszewski pisze: 21 mar 2021, o 18:38
Janusz Tracz pisze: 21 mar 2021, o 18:35To nieprawda. Policz dla \(\displaystyle{ a=0}\).
Słaby argument:
szalonykon pisze: 21 mar 2021, o 18:26 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a}\) różnej od zera,
JK
Ok racja. Nie zmiana to jednak faktu, że twierdzenie jest fałszywe. Dla \(\displaystyle{ a=1}\) wartość to \(\displaystyle{ -12}\), a dla \(\displaystyle{ a=3}\) dostajemy \(\displaystyle{ 112}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykaż, że wartość wielomianu jest ujemna

Post autor: a4karo »

To nie jest słaby argument, tylko nie objaśniony do końca: jeżeli `W(0)=1` to w pewnym otoczeniu zera `W>0`
ODPOWIEDZ