Parametry i pochodna

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
logotyp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 lis 2020, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Parametry i pochodna

Post autor: logotyp »

Mam problem z zadaniem (przepraszam jeśli nie ten dział).
Dla jakich wartości parametru p równanie \(\displaystyle{ x^3 +3px -p^2=0 }\) ma trzy rozwiązania?
Mam intuicję, że wykres przebiegu wykresu równania, jeśli potraktujemy je jako funkcję \(\displaystyle{ w(x)}\), to funkcja taka ma \(\displaystyle{ 3}\) miejsca zerowe wtw gdy ma dwa ektrema lokalne różne od miejsc zerowych tejże funkcji. Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty}w(x)= \infty}\) to szkic zaczynamy z prawej strony od góry, następnie przechodzi przez oś \(\displaystyle{ x}\), "odbija się" od minimum lokalnego, następnie przechodzi znowu przez oś \(\displaystyle{ x}\) i zmienia monotoniczność w maksimum lokalnym przechodząc poraz 3. przez oś \(\displaystyle{ x}\). Czyli pochodna \(\displaystyle{ w'(x)=3x^2+3p}\), która jest funkcją kwadratową, musi mieć dwa rozwiązania. Z tego wychodzi, że delta, czyli \(\displaystyle{ -36p>0 \Rightarrow p<0}\). W rozwiązaniach \(\displaystyle{ p}\) jednak należy tylko do\(\displaystyle{ (-4,0)}\), jednak nie wiem jak dojść do tego \(\displaystyle{ -4}\). Z góry dziękuję za pomoc i wskazanie błędów w moim rozumowaniu.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Parametry i pochodna

Post autor: Premislav »

Otrzymałeś warunek konieczny, ale niewystarczający. Punkty, w których ta funkcja przyjmuje ekstremum (dla \(\displaystyle{ p<0}\)), to \(\displaystyle{ \pm\sqrt{-p}}\) i musisz sobie zagwarantować odpowiedni znak \(\displaystyle{ w(x)}\) w tych punktach, tj.
\(\displaystyle{ w\left(-\sqrt{-p}\right)>0, \ w\left(\sqrt{-p}\right)<0}\)
logotyp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 lis 2020, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 3 razy

Re: Parametry i pochodna

Post autor: logotyp »

Ah no tak, dziękuję bardzo :)
ODPOWIEDZ