Problem z określeniem dziedziny funkcji

[Blacky]

Witam
Mam problem z określeniem dziedziny funkcji: \(\displaystyle{ \sqrt{x- x ^{3} }}\)
Otóż zapisuje że \(\displaystyle{ x-x^3 \ge 0}\).
Wyciągam \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostaje mi \(\displaystyle{ x(-x^2+1) \ge 0}\).
Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).
I z równania kwadratowego drugiego pierwiastka otrzymuje przedział: \(\displaystyle{ \langle-1,1\rangle}\).
Część wspólna tych dwóch przedziałów to \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\), czyli taka powinna być dziedzina. Jednak odpowiedź jest inna. Mógłby ktoś wytłumaczyć mi gdzie robię błąd?
Pozdrawiam

[szw1710]

Błąd jest tu:

Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).

Zakładamy \(x-x^3\ge 0\), czyli \(x(1-x)(1+x)\ge 0\), skąd \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 0,1\rangle.\)

Należy po prostu narysować ,,węża''. Startujemy na prawo od \(1\) od wartości ujemnych, gdyż współczynnik przy \(x^3\) jest ujemny. Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc zawsze przechodząc przez pierwiastek wąż zmienia stronę osi \(x\).

[a4karo]

A błąd robisz tam, gdzie z faktu `ab>0` wyciągasz wniosek że oba czynniki są dodatnie

[Jan Kraszewski]

Otóż zapisuje że \(\displaystyle{ x-x^3 \ge 0}\).
Wyciągam \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostaje mi \(\displaystyle{ x(-x^2+1) \ge 0}\).
Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).
I z równania kwadratowego drugiego pierwiastka otrzymuje przedział: \(\displaystyle{ \langle-1,1\rangle}\).

Twój podstawowy błąd polega na tym, że uważasz, iż \(\displaystyle{ ab\ge 0 \Leftrightarrow a\ge 0\land b\ge 0}\), a to oczywiście nieprawda.

Dużo prościej by ci było, gdybyś zapisał tę nierówność jako \(\displaystyle{ -x(x+1)(x-1)\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ x(x+1)(x-1)\le 0}\) i skorzystał z "reguły wężyka".

JK