Witam
Mam problem z określeniem dziedziny funkcji: \(\displaystyle{ \sqrt{x- x ^{3} }}\)
Otóż zapisuje że \(\displaystyle{ x-x^3 \ge 0}\).
Wyciągam \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostaje mi \(\displaystyle{ x(-x^2+1) \ge 0}\).
Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).
I z równania kwadratowego drugiego pierwiastka otrzymuje przedział: \(\displaystyle{ \langle-1,1\rangle}\).
Część wspólna tych dwóch przedziałów to \(\displaystyle{ \langle 0,1\rangle}\), czyli taka powinna być dziedzina. Jednak odpowiedź jest inna. Mógłby ktoś wytłumaczyć mi gdzie robię błąd?
Pozdrawiam
Problem z określeniem dziedziny funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 15:23
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 3 razy
Problem z określeniem dziedziny funkcji
Ostatnio zmieniony 29 lis 2020, o 15:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Re: Problem z określeniem dziedziny funkcji
Błąd jest tu:
Należy po prostu narysować ,,węża''. Startujemy na prawo od \(1\) od wartości ujemnych, gdyż współczynnik przy \(x^3\) jest ujemny. Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc zawsze przechodząc przez pierwiastek wąż zmienia stronę osi \(x\).
Zakładamy \(x-x^3\ge 0\), czyli \(x(1-x)(1+x)\ge 0\), skąd \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle 0,1\rangle.\)Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).
Należy po prostu narysować ,,węża''. Startujemy na prawo od \(1\) od wartości ujemnych, gdyż współczynnik przy \(x^3\) jest ujemny. Wszystkie pierwiastki są jednokrotne, więc zawsze przechodząc przez pierwiastek wąż zmienia stronę osi \(x\).
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Problem z określeniem dziedziny funkcji
Twój podstawowy błąd polega na tym, że uważasz, iż \(\displaystyle{ ab\ge 0 \Leftrightarrow a\ge 0\land b\ge 0}\), a to oczywiście nieprawda.Blacky pisze: ↑29 lis 2020, o 15:36 Otóż zapisuje że \(\displaystyle{ x-x^3 \ge 0}\).
Wyciągam \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostaje mi \(\displaystyle{ x(-x^2+1) \ge 0}\).
Otrzymuje \(\displaystyle{ x \ge 0}\) czyli przedział: \(\displaystyle{ \langle 0, \infty )}\).
I z równania kwadratowego drugiego pierwiastka otrzymuje przedział: \(\displaystyle{ \langle-1,1\rangle}\).
Dużo prościej by ci było, gdybyś zapisał tę nierówność jako \(\displaystyle{ -x(x+1)(x-1)\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ x(x+1)(x-1)\le 0}\) i skorzystał z "reguły wężyka".
JK