Dodatnie pierwiastki wielomianu ósmego rzędu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
grubix123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 19 lis 2020, o 11:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 55

Dodatnie pierwiastki wielomianu ósmego rzędu

Post autor: grubix123 »

Cześć, poszukuje metody do wyznaczenia takiego czasu \(\displaystyle{ T}\), aby w chwili \(\displaystyle{ T_x}\), prędkość \(\displaystyle{ v(T_x)}\) była mniejsza bądź równa maksymalnej prędkości zadanej \(\displaystyle{ V_{max}}\) tzn.

\(\displaystyle{ v(T_x) \le V_{max}}\)

Dodatkowo czas \(\displaystyle{ T}\) musi być dodatni oraz jak najmniejszy. Czas \(\displaystyle{ T_x}\) to czas w którym zostaje osiągnięta prędkość maksymalna. Wzory na pozycję, prędkość, przyspieszenie, zryw oraz udar wyrażone są następująco:

\(\displaystyle{
x(t)=k_5t^5+k_4t^4+k_3t^3+k_2t^2+k_1t+k_0\\
v(t)=x'(t)=5k_5t^4+4k_4t^3+3k_3t^2+2k_2t+k_1\\
a(t)=v'(t)=20k_5t^3+12k_4t^2+6k_3t+2k_2\\
j(t)=a'(t)=60k_5t^2+24k_4t+6k_3\\
s(t)=j'(t)=120k_5t+24k_4
}\)


gdzie:

\(\displaystyle{
k_0=x_0\\
k_1=v_0\\
k_2=\frac{a_0}{2}\\
k_3=\frac{1}{2T^3}(-3a_0T^2-12v_0T+20(x_1-x_0))\\
k_4=\frac{1}{2T^4}(3a_0T^2+16v_0T+30(x_0-x_1))\\
k_5=\frac{1}{2T^5}(-a_0T^2-6v_0T+12(x_1-x_0))
}\)


Współczynniki \(\displaystyle{ k_0-k_5}\) zostały wyznaczone na podstawie ograniczeń:

\(\displaystyle{
x(0)=x_0\\
x(T)=x_1\\
v(0)=v_0\\
v(T)=0\\
a(0)=a_0\\
a(T)=0
}\)


W celu znalezienia czasu \(\displaystyle{ T_x}\), czyli czasu osiągnięcia maksymalnej prędkości, pochodna zrywu (udar) została przyrównana do 0

\(\displaystyle{ s(T_x)=j'(T_x)=120k_5T_x+24k_4=0 \Rightarrow T_x=\frac{-k_4}{5k_5}}\)

Dla zerowej prędkości początkowej i zerowego przyspieszenia początkowego tj. \(\displaystyle{ v_0=a_0=0}\), wzór na czas \(\displaystyle{ T_x}\) upraszcza się do

\(\displaystyle{ T_x=\frac{T}{2}}\)

dzięki czemu po podstawieniu do wzoru na prędkość otrzymujemy czas \(\displaystyle{ T}\) gwarantujący osiągnięcie maksymalnej prędkości \(\displaystyle{ V_{max}}\)

\(\displaystyle{ v(\frac{T}{2})=V_{max} \Rightarrow T=\frac{15(x1-x0)}{8V_{max}}}\)

Dla niezerowych wartości prędkości i przyspieszenia początkowego (tj. \(\displaystyle{ v_0 \neq 0 \cup a_0 \neq 0}\)) sprawa się zdecydowanie komplikuje i po podstawieniu \(\displaystyle{ v(T_x)=V_{max}}\) powstaje równanie ósmego rzędu (tak przynajmniej wyszło z moich obliczeń).

\(\displaystyle{ T_x=-\frac{T(3a_0T^2+16v_0T+30(x_0-x_1))}{5(-a_0T^2-6v_0T+12(x_1-x_0))}}\)

Zakładam że w tym przypadku, jedyną słuszną metodą znalezienia rozwiązania będzie jakaś metoda iteracyjna. Dodatkowo za wszystkie obliczenia odpowiadać będzie program, a znalezienie rozwiązania nie może trwać więcej niż 4ms. Z góry dziękuję za każdą wskazówkę 8-)

Jeżeli w jakikolwiek sposób będzie to pomocne, równania \(\displaystyle{ x(t), v(t), a(t)}\) itd. zamierzam wykorzystać w generatorze trajektorii dla manipulatora przemysłowego. Dlatego też w przypadku zadania zbyt dużej zmiany pozycji \(\displaystyle{ \left| x_1-x_0\right| }\) w zbyt małym czasie \(\displaystyle{ T}\) pojawia się potrzeba ograniczenia prędkości do prędkości maksymalnej \(\displaystyle{ V_{max}}\), a zatem znalezienia innego, większego czasu \(\displaystyle{ T}\) gwarantującego nie przekroczenie tej prędkości podczas wykonywanego ruchu.
ODPOWIEDZ