Hej! Potrzebuję pomocy w poniższym problemie:
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 8 lis 2020, o 14:20
- Płeć: Kobieta
- wiek: 18
- Podziękował: 2 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna
Wskazówka: oblicz \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right)^3}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Re: Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-3\right)}\)
i kładąc \(\displaystyle{ x:=\sqrt[3]{3}}\), widzimy, że liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}}\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \frac{10}{3}=t^{3}-3t}\), tj. pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ t^{3}-3t-\frac{10}{3}}\)
Wystarczy trochę przeskalować te współczynniki i tyle.
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-3\right)}\)
i kładąc \(\displaystyle{ x:=\sqrt[3]{3}}\), widzimy, że liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}}\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \frac{10}{3}=t^{3}-3t}\), tj. pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ t^{3}-3t-\frac{10}{3}}\)
Wystarczy trochę przeskalować te współczynniki i tyle.