Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
olasme_123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 8 lis 2020, o 14:20
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 2 razy

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna

Post autor: olasme_123 »

Hej! Potrzebuję pomocy w poniższym problemie:
Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+ \frac{1}{ \sqrt[3]{3} } }\)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna

Post autor: Dasio11 »

Wskazówka: oblicz \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{3} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \right)^3}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest podana liczba niewymierna

Post autor: Premislav »

Zauważmy, że
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-3\right)}\)
i kładąc \(\displaystyle{ x:=\sqrt[3]{3}}\), widzimy, że liczba
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}}\) jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ \frac{10}{3}=t^{3}-3t}\), tj. pierwiastkiem wielomianu
\(\displaystyle{ t^{3}-3t-\frac{10}{3}}\)
Wystarczy trochę przeskalować te współczynniki i tyle.
ODPOWIEDZ