Ile roznych pierwiastków może mieć wielomian szóstego stopnia?

[Mondo]

Dla równania

`ax^6 + bx^3 + c = 0 ` próbuję podać ile róznych rozwiązań może mieć. Gdyby sprowadzić do równania kwadratowego poprzez `y = x^3`, \(\displaystyle{ ay^2 + by + c = 0 }\)to wtedy mamy 0, 1 lub 2 rozwiązania w zależności od wartości wyróżnika (stałych \(\displaystyle{ a,b,c}\)). A co z pozostałymi rozwiązaniami? Jak mogę udowodnić iż istnieją kolejne?

Dziękuję

[a4karo]

Chodzi Ci o pierwiastki rzeczywiste czy zespolone.

[Mondo]

Skupmy się póki co na rzeczywistych tylko

[a4karo]

No to skoro równanie `ay^2+by+c=0` ma `0,1,2` pierwiastki a `y=x^3`, to pomyśl ile pierwiastków ma wyjściowe równanie?

[Mondo]

No to skoro równanie `ay^2+by+c=0` ma `0,1,2` pierwiastki a `y=x^3`, to pomyśl ile pierwiastków ma wyjściowe równanie?

No właśnie się nad tym zastanawiam, po podstawieniu `y=x^3` mamy `ay^2 + by + c = 0` co może dać 0, 1 lub 2 pierwiastki. Załużmy że mam jeden y = A, co po powrocie do pierwotnego równania da `x^3 = A`. Teraz pytanie czy to równanie może wygenerować kolejne pierwiastki? Moja odpowiedź to nie, ponieważ jeśli `y` był ujemny to x^3 dalej takie pozostanie. Więc w tym przypadku mamy jeden pierwiastek równy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{A} }\). Podobnie jeśli z równania kwadratowego wyszły dwa pierwiastki to po podstawniu dalej pozostaną dwa. Tak więc moja finalna odpowiedź to: zero jeden lub dwa pierwiastki.

Jeśli natomiast równaniem wyjściowym byłoby np. `ax^8 + bx^4 + c = 0` to podobnie podstawiając `y=x^4` dostajemy możliwe 0, 1 lub 2 pierwiastki
przy czym każdy z nich tym razem może wygenerować jeden dodatkowy bo jeśli `y_1 = A` to `x_1^4 = A` i teraz zarówno `x_1 = \sqrt{A}` jak i `x_1 = -\sqrt{A}` spełniają to równanie tak więc ostatecznie mamy: 0, 1, 2, lub 4 pierwiastki.


Czy dobrze rozumuję?

[a4karo]

Lepiej jest tak : `x^3` jest różnowartościowa więc równanie `y=x^3` ma jedno rozwiązanie.


Z czwarta potęga nie rozpatrzyles jednego przypadku. Pomyśl jakiego

[Mondo]

Lepiej jest tak : `x^3` jest różnowartościowa więc równanie `y=x^3` ma jedno rozwiązanie.

ok, dzięki.

Z czwarta potęga nie rozpatrzyles jednego przypadku. Pomyśl jakiego

Wydaje mi się, że nie jednego, a aż dwóch nie uwzględniłem bo poza 0, 1, 2, 4 mamy jeszcze mozliwe:

3 rozwiązania -> Kiedy wwyróżnik równania kwadratowego ` \Delta > 0 ` i jedno z dwóch rozwiązań pokryje się z rozwiązaniem równania pierwotnego.
Nieskończenie wiele rozwiązań -> kiedy stałe `A = B = C = 0`

Tak więc ostatecznie równanie `ax^8 + bx^4 + c = 0` ma potencjalnie 0, 1 ,2, 3, 4 lub nieskończenie wiele rozwiązań. Zgadza się?