Pomoc wielomian

[daawid1992]

Czy pomoże ktoś rozwiązać takie równanie:
\(\displaystyle{ x^3=6x^2-9}\)

[Janusz Tracz]

To jest równanie \(\displaystyle{ 3}\) stopnia można je zatem zawsze rozwiązać

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne

. Jednak jest to zwykle żmudne gdy równanie nie ma oczywistych pierwiastków (tak jak tu). Rozwiązaniem są liczby:


\(\displaystyle{ x=\left( \frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3} i}{2}\right) \, {{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}+\frac{4 \left( \frac{\sqrt{3} i}{2}+\frac{-1}{2}\right) }{{{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}}+2}\)

\(\displaystyle{ x=\left( \frac{\sqrt{3} i}{2}+\frac{-1}{2}\right) \, {{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}+\frac{4 \left( \frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3} i}{2}\right) }{{{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}}+2}\)

\(\displaystyle{ x={{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}+\frac{4}{{{\left( 4 \sqrt{3} i+4\right) }^{\frac{1}{3}}}}+2}\)

[kerajs]

Jak widać(!) rozwiązaniem są trzy liczby rzeczywiste.

[janusz47]

Jak widać rozwiązaniem są dwie liczby rzeczywiste:

\(\displaystyle{ x^3 - 6x^2 +9 = x(x^2 -6x +9) = x(x-3)^2 = 0. }\)

[Tmkk]

Panie Januszu, proszę czytać swoje posty przed wysłaniem lub wpisywać równania do wolframa, aby potwierdzić swoje obliczenia.

[Jan Kraszewski]

Jak widać rozwiązaniem są dwie liczby rzeczywiste:

\(\displaystyle{ x^3 - 6x^2 +9 = x(x^2 -6x +9) = x(x-3)^2 = 0. }\)

\(\displaystyle{ x(x^2 -6x +9)=x^3 - 6x^2 +9x \, \red{\ne}\,x^3 - 6x^2 +9 }\)

JK

[janusz47]

\(\displaystyle{ y^3 - 6y^2 + 9 = 0. }\)

Rozwiążemy równanie przez pierwiastki pierwotne (pierwiastniki).

Podstawimy najpierw:

\(\displaystyle{ y = x + \frac{6}{3} = x+2 }\)

Mamy wtedy

\(\displaystyle{ (x+2)^3 -6(x+2)^2 + 9 = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 -6x^2 -24x -24 +9 = 0 }\)

\(\displaystyle{ x^3 -12x -7 = 0 }\)

Drugie podstawienie:

\(\displaystyle{ x = y +\frac{12}{3y} = y + \frac{4}{y} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ \left(y+ \frac{4}{y}\right)^3 -12\left(y +\frac{4}{y}\right) - 7 = 0 }\)

\(\displaystyle{ y^3 +12y +\frac{48}{y} +\frac{64}{y^3} -12y -\frac{48}{y} -7 = 0 }\)

\(\displaystyle{ y^3 +\frac{64}{y^3} - 7 = 0 }\)

Trzecie podstawienie:

\(\displaystyle{ y^3 = z \ \ ( 3)}\)

\(\displaystyle{ z + \frac{64}{z} - 7 = 0 }\)

\(\displaystyle{ z^2 -7z + 64 = 0 }\)

\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{7 - i\sqrt{207}}{2} = \frac{1}{2} (7 -3i\sqrt{23}).}\)

\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2} ( 7 + 3i \sqrt{23}). }\)

Wracamy do podstawienia \(\displaystyle{ (3) }\)

\(\displaystyle{ y_{1} = \sqrt[3]{ \frac{1}{2} (7 -3i\sqrt{23})} \approx 1,863 - 0,728 i.}\)

\(\displaystyle{ y_{2} = (-1)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{ \frac{1}{2} (7 - 3i\sqrt{23})} \approx -0,300 +1,977i . }\)

\(\displaystyle{ y_{3} = -\sqrt[3]{-\frac{1}{2}\left(-7 +3i\sqrt{23}\right)} \approx -1,863 +0,728i. }\)

\(\displaystyle{ y_{4} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} (7 +3i\sqrt{23})} \approx 1,863 + 0,728 i.}\)

\(\displaystyle{ y_{5} = (-1)^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{ \frac{1}{2} (7 +3i\sqrt{23})} \approx -1,562 + 1,249 i . }\)

\(\displaystyle{ y_{6} = - \sqrt[3]{ -\frac{1}{2}}\sqrt[3] {(7 +3i\sqrt{23})} \approx -0,300 + 1.977 i. }\)

Wracamy do podstawienia \(\displaystyle{ (2) }\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \sqrt[3]{ \frac{1}{2} (7 -3i\sqrt{23})} + \frac{4}{\sqrt[3]{ \frac{1}{2} (7 -3i\sqrt{23})}} \approx 3,725. }\)

Wracamy do podstawienia \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{1} = 3.725 + 2 = 5,725. }\)

\(\displaystyle{ x_{2} =- 0,300 + 1,977i + \frac{4}{-0,300 +1,977i} \approx -0.602. }\)

Wracamy do podstawienia \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{2} = 2 - 0,602 = 1,398.}\)

\(\displaystyle{ x_{3} = -1.863+ 0,728i + \frac{4}{-1.863 +0,728 i} \approx 3,725. }\)

Wracamy do podstawienia \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{3} = 2 +3,725 = 5 ,725. }\)

\(\displaystyle{ x_{4} = 1,863 + 0.728 i + \frac{4}{1.863 + 0.728i} \approx 3,725. }\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{4} = 3,725 +2 = 5,725. }\)

\(\displaystyle{ x_{5}= -1.562 +1.249i + \frac{4}{-1.562 + 1.249 i} \approx -3,124.}\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{5} = -3.124 + 2 = -1,124 .}\)

\(\displaystyle{ x_{6} = -0,300 +1,977 i + \frac{4}{-0,300 +1,971 i} \approx - 0,602. }\)

\(\displaystyle{ y^{*}_{6} = 2 - 0,602 = 1,398. }\)

Rozwiązaniem przybliżonym równania jest zbiór liczb:

\(\displaystyle{ y^{*} \in \{ -1,124, \ \ 1,398, \ \ 5,725\} .}\)

[Jan Kraszewski]

Rozwiązaniem przybliżonym równania jest zbiór liczb:

Nie chcę czepiać się słówek, ale raczej "Zbiorem przybliżonych rozwiązań równania jest zbiór liczb:".

JK

[janusz47]

To sformułowanie jest zgrabniejsze. Dziękuję.