Rozważmy przedział \(\displaystyle{ [m,n]}\) o długości \(\displaystyle{ m−n>2 \sqrt[3]{4} .}\)
Wykaż ze nie istnieją liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a , b, c}\) takie że \(\displaystyle{ |x^3+ax^2+bx+c| \le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ x∊[m,n]}\).
wielomian trzeciego stopnia
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
wielomian trzeciego stopnia
Ostatnio zmieniony 16 sie 2020, o 10:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: wielomian trzeciego stopnia
Teza zadania łatwo wynika z następującego twierdzenia z teorii aproksymacji:
Istotnie: załóżmy nie wprost, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) spełniający warunek z treści, tj. taki że \(\displaystyle{ |P(x)| \le 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in [m, n]}\). Niech \(\displaystyle{ \ell(x) = \alpha x + \beta}\) będzie rosnącą funkcją liniową przekształcającą wzajemnie jednoznacznie przedział \(\displaystyle{ [-1, 1]}\) na \(\displaystyle{ [m, n]}\). Łatwo wyliczyć że \(\displaystyle{ \alpha = \frac{n-m}{2}}\), natomiast o ile wartość \(\displaystyle{ \beta}\) wyliczyć równie łatwo, to nie jest nam do niczego potrzebna.
Rozważmy teraz wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = \frac{1}{\alpha^3} P(\ell(x))}\). Jest to wielomian unormowany stopnia trzy, a ponadto z założeń wynika, że \(\displaystyle{ |Q(x)| \le \frac{1}{\alpha^3}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha^3} < \frac{1}{4}}\), a stąd \(\displaystyle{ \| Q \|_{\infty} < \frac{1}{4}}\). Jednak jest to jawnie sprzeczne z zacytowanym twierdzeniem, co kończy dowód.
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), najmniejszą możliwą wartość normy \(\displaystyle{ \| P \|_{\infty} = \sup_{x \in [-1, 1]} |P(x)|}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest wielomianem unormowanym stopnia \(\displaystyle{ n}\), osiąga unormowany wielomian Czebyszewa \(\displaystyle{ \textstyle \frac{1}{2^{n-1}} T_n}\), a tą najmniejszą wartością jest \(\displaystyle{ \textstyle \left\| \frac{1}{2^{n-1}} T_n \right\|_{\infty} = \frac{1}{2^{n-1}}}\).
Istotnie: załóżmy nie wprost, że istnieje wielomian \(\displaystyle{ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) spełniający warunek z treści, tj. taki że \(\displaystyle{ |P(x)| \le 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in [m, n]}\). Niech \(\displaystyle{ \ell(x) = \alpha x + \beta}\) będzie rosnącą funkcją liniową przekształcającą wzajemnie jednoznacznie przedział \(\displaystyle{ [-1, 1]}\) na \(\displaystyle{ [m, n]}\). Łatwo wyliczyć że \(\displaystyle{ \alpha = \frac{n-m}{2}}\), natomiast o ile wartość \(\displaystyle{ \beta}\) wyliczyć równie łatwo, to nie jest nam do niczego potrzebna.
Rozważmy teraz wielomian \(\displaystyle{ Q(x) = \frac{1}{\alpha^3} P(\ell(x))}\). Jest to wielomian unormowany stopnia trzy, a ponadto z założeń wynika, że \(\displaystyle{ |Q(x)| \le \frac{1}{\alpha^3}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [-1, 1]}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{\alpha^3} < \frac{1}{4}}\), a stąd \(\displaystyle{ \| Q \|_{\infty} < \frac{1}{4}}\). Jednak jest to jawnie sprzeczne z zacytowanym twierdzeniem, co kończy dowód.