Udowodnić dwie własności wielomianów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 490
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 261 razy
Pomógł: 7 razy

Udowodnić dwie własności wielomianów

Post autor: Mondo »

Witam,

w jaki sposób należy udowodnić, że:

a.) Jeśli mamy dwa wielomiany o stopniu nie większym niż dwa oraz \(\displaystyle{ P(x_1) = Q(x_1), P(x_2) = Q(x_2), P(x_3) = Q(x_3)}\) dla trzech różnych \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3}\) to wilomiany te są równe.

b.) Wielomian o stopniu nie większym niż dwa jest jednoznacznie zdefiniowany przez trzy swoje wartości.

Jeśli chodzi o punkt b.) to znalazłem dowód który mówi, że:
Zakładając iż mamy wielomian \(\displaystyle{ R(x) = P(x) - Q(x)}\) oraz \(\displaystyle{ R(x_1) = R(x_2)=R(x_3) = 0}\) (czyli \(\displaystyle{ x_1..x_3}\)) są pierwiastkami tego wilomianu. Nastepnie ponieważ wiemy iż wielomian stopnia co najwyżej drugiego nie może mieć więcej pierwiastków niż dwa, chyba że jest zerem to stąd wyniką iż \(\displaystyle{ R(x) = 0 }\) oraz \(\displaystyle{ P(x) = Q(x)}\). Koniec dowodu.
Zupełnie nie rozumiem, jak powyższy dowód dowodzi punktu b.)

Proszę więc o wskazówki do dowodów a.) oraz b.)
Dziękuję :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnić dwie własności wielomianów

Post autor: a4karo »

Wsk `P-Q` jest wielomianem stopnia nie większego niż dwa
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Udowodnić dwie własności wielomianów

Post autor: Dasio11 »

Cytowany tekst jest raczej dowodem podpunktu (a) niż (b). Jeśli zaś chodzi o (b), to sformułowanie nie grzeszy ścisłością, ale interpretowałbym je tak: dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ v_1, v_2, v_3 \in \RR}\) istnieje dokładnie jeden wielomian \(\displaystyle{ P}\) stopnia najwyżej dwa, taki że \(\displaystyle{ P(x_i) = v_i}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, 2, 3}\). Jedyność takiego wielomianu gwarantuje nam podpunkt poprzedni, a istnienie najłatwiej wykazać jawnie go definiując:

\(\displaystyle{ P(x) = \frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)} \cdot v_1 + \frac{(x-x_3)(x-x_1)}{(x_2-x_3)(x_2-x_1)} \cdot v_2 + \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)} \cdot v_3}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Udowodnić dwie własności wielomianów

Post autor: janusz47 »

Można udowodnić ogólniejsze twierdzenie

Dla dowolnych \(\displaystyle{ n+1 }\) punktów \(\displaystyle{ v_{0}, v_{1}, ... v_{n}\in \RR }\) istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwyżej \(\displaystyle{ n, \ \ n\geq 0 }\) w bazie: Lagrange'a , Newtona, który w punktach \(\displaystyle{ x_{i}, \ \ i = 0,1,2,...,n }\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ v_{i}, \ \ i= 0,1,2,..., n .}\)

Wielomian przedstawiony przez Dasio11 jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a opartym na trzech węzłach interpolacji.


Można też zauważyć, nie licząc się z kosztami obliczeń i uwarunkowaniami zadania, że układ równań z macierzą Vandermonde'a \(\displaystyle{ V }\)

\(\displaystyle{ V \cdot \vec{w} = \vec{v} }\)


\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix} x^2_{0} & x_{0} & 1 \\ x^2_{1} & x_{1} &1 \\ x^2_{2} & x_{2} & 1 \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} w_{1} \\ w_{2}\\ w_{3} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} \right] }\)

ma dokładnie jedno rozwiązanie

\(\displaystyle{ w_{i} = \frac{1}{|V|}\sum_{j=0}^{2} v_{j} |V_{ij}|. }\)

gdzie \(\displaystyle{ |V_{ij}| , \ \ j= 0,1,2 }\) są kolejnymi dopełnieniami algebraicznymi elementów \(\displaystyle{ i - }\) tej kolumny macierzy \(\displaystyle{ V.}\)
ODPOWIEDZ