Mam problem z następującym zadaniem,
Dane są liczby naturalne dodatnie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ p}\) oraz wielomian
\(\displaystyle{ f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}}\) o współczynnikach całkowitych.
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ p+1}\) nie dzieli żadnej z liczb: \(\displaystyle{ f(k)}\), \(\displaystyle{ f(k+1)}\),..., \(\displaystyle{ f(k+p)}\) to wielomian nie ma pierwiastków wymiernych.
Z góry dziękuję za pomoc
Zadanie dowodowe z wielomianów
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 25 mar 2019, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowiec Świętokrzyski
- Podziękował: 8 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Zadanie dowodowe z wielomianów
Czy możesz skorzystać z ?
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Gaussa_%28algebra%29
-
- Użytkownik
- Posty: 13
- Rejestracja: 25 mar 2019, o 21:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrowiec Świętokrzyski
- Podziękował: 8 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 29 cze 2020, o 21:02
- Płeć: Kobieta
- wiek: 35
- Pomógł: 7 razy
Re: Zadanie dowodowe z wielomianów
Załóż wbrew tezie, że wielomian \(\displaystyle{ f(x) }\) posiada pierwiastek wymierny na przykład \(\displaystyle{ m }\).
Mamy więc \(\displaystyle{ f(m)=0. }\)
Skorzystaj z twierdzenia Bezout: \(\displaystyle{ (x-m) | f(x) }\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = (x-m)g(x) }\), gdzie \(\displaystyle{ g(x) }\) jest wielomianem o współczynnikach wymiernych.
Rozważ liczby wymierne \(\displaystyle{ f(k+s) = (k + s -m) g(k+s) }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p. }\)
Co powiesz o liczbach postaci \(\displaystyle{ p+1, }\) a \(\displaystyle{ k+ s -m }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p ? }\)
Jaka stąd wypływa teza dla pewnego \(\displaystyle{ s = 0,1,2,...,p, }\) która przeczy założeniu?
Sprzeczność ta dowodzi tezy.
Mamy więc \(\displaystyle{ f(m)=0. }\)
Skorzystaj z twierdzenia Bezout: \(\displaystyle{ (x-m) | f(x) }\), czyli \(\displaystyle{ f(x) = (x-m)g(x) }\), gdzie \(\displaystyle{ g(x) }\) jest wielomianem o współczynnikach wymiernych.
Rozważ liczby wymierne \(\displaystyle{ f(k+s) = (k + s -m) g(k+s) }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p. }\)
Co powiesz o liczbach postaci \(\displaystyle{ p+1, }\) a \(\displaystyle{ k+ s -m }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p ? }\)
Jaka stąd wypływa teza dla pewnego \(\displaystyle{ s = 0,1,2,...,p, }\) która przeczy założeniu?
Sprzeczność ta dowodzi tezy.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Zadanie dowodowe z wielomianów
Ok, da się bez lematu Gaussa: załóżmy, że \(\displaystyle{ f}\) ma pierwiastek wymierny \(\displaystyle{ m}\). Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych gwarantuje, że \(\displaystyle{ m \in \ZZ}\). Stąd i z twierdzenia Bezouta w odpowiedniej wersji mamy \(\displaystyle{ f(x) = (x-m)g(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ g(x)}\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.
W tej sytuacji działa przytoczony wyżej argument:
W tej sytuacji działa przytoczony wyżej argument:
z tym, że wszystkie te liczby są nie tylko wymierne (bo wtedy argument nie działa), lecz całkowite.beatrycze pisze: ↑29 cze 2020, o 23:59Rozważ liczby wymierne \(\displaystyle{ f(k+s) = (k + s -m) g(k+s) }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p. }\)
Co powiesz o liczbach postaci \(\displaystyle{ p+1, }\) a \(\displaystyle{ k+ s -m }\) dla \(\displaystyle{ s = 0,1,2,3,...,p ? }\)
Jaka stąd wypływa teza dla pewnego \(\displaystyle{ s = 0,1,2,...,p, }\) która przeczy założeniu?
Sprzeczność ta dowodzi tezy.