Funkcja sześcienna

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Luki_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 26 maja 2020, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 18

Funkcja sześcienna

Post autor: Luki_ »

Muszę wyznaczyć miejsca zerowe funkcji:
\(\displaystyle{ -x ^{3} -2 \cdot x ^{2} -3 \cdot x+1 = 0 }\)
Siłuję się z tym od dobrej godziny i nie wychodzi. Będę wdzięczny za pomoc.
Ostatnio zmieniony 26 maja 2020, o 14:49 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Funkcja sześcienna

Post autor: Premislav »

Hello,

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-x%5E3-2x%5E2-3x%2B1%3D0

Sonnhard.

Dodano po 26 minutach 45 sekundach:
Dobra, chyba wiem, jak to spałować bez wolframa. Podstawiam \(\displaystyle{ x=t-\frac{2}{3}}\), co po żmudnych przekształceniach daje
\(\displaystyle{ t^{3}+\frac{5}{3}t-\frac{65}{27}=0}\)
Teraz podstawmy \(\displaystyle{ t=i\cdot wz, \ z\in \CC}\) (\(\displaystyle{ i}\) to jednostka urojona), gdzie \(\displaystyle{ w}\) jest tak dobrane, aby \(\displaystyle{ \frac{3}{5}w^{2}=\frac{4}{3}}\), czyli na przykład \(\displaystyle{ w=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\), a dostaniemy
\(\displaystyle{ -iw^{3}z^{3}+\frac{5}{3}iwz-\frac{65}{27}=0\\-\frac{3}{5}w^{2}z^{3}+z-\frac{65}{27i \cdot \frac{5}{3}w^{2}}=0\\-\frac{4}{3}z^{3}+z+\text{syf}=0\\3z-4z^{3}=-3\text{ syf }}\)
i teraz można to skojarzyć ze wzorkiem na sinus potrojonego kąta:
\(\displaystyle{ \sin(3t)=3\sin t-4\sin^{3}t}\)
podstawiając \(\displaystyle{ z=\sin \kappa}\).
Tutaj \(\displaystyle{ t}\) jest zespolone, więc żadne biedackie ograniczenia na moduł sinusa nas nie martwią. Właściwie jest to mniej więcej szczególny przypadek wzorów Cardana, o których czytaj np. tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_sze%C5%9Bcienne
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: Funkcja sześcienna

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ -x ^{3} -2 \cdot x ^{2} -3 \cdot x+1 = 0 }\)

Można bez zespolonych

Najpierw staramy się przedstawić wielomian trzeciego stopnia w postaci
sumy potęg dwumianu tak aby wyraz z \(\displaystyle{ x^{2}}\)
był zawarty w trzeciej potędze tego dwumianu czyli dla tego przykładu

\(\displaystyle{ -x ^{3} -2 \cdot x ^{2} -3 \cdot x+1 = 0\\
x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 3 \cdot x - 1 = 0\\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}=x^{3}+3 \cdot x^{2} \cdot \frac{2}{3} +3 \cdot x \cdot \frac{4}{9}+ \frac{8}{27} \\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}=x^{3}+2 \cdot x^{2}+ \frac{4}{3}x+ \frac{8}{27} \\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}+ \frac{5}{3}\left( x+ \frac{2}{3} \right)=\left(x^{3}+2 \cdot x^{2}+ \frac{4}{3}x+ \frac{8}{27} \right)+ \frac{5}{3}x+ \frac{10}{9}\\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}+ \frac{5}{3}\left( x+ \frac{2}{3} \right)= x^{3}+2 \cdot x^{2}+ 3x+ \frac{38}{27} \\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}+ \frac{5}{3}\left( x+ \frac{2}{3} \right)- \frac{65}{27} = x^{3}+2 \cdot x^{2}+ 3x+ \frac{38}{27}-\frac{65}{27}\\
\left( x+ \frac{2}{3} \right)^{3}+ \frac{5}{3}\left( x+ \frac{2}{3} \right)- \frac{65}{27} = x^{3}+2 \cdot x^{2}+ 3x - 1\\
}\)


\(\displaystyle{ y=x+ \frac{2}{3}\\
y^3+ \frac{5}{3}y- \frac{65}{27}=0\\
y=u+v\\
\left( u+v\right) ^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3\\
\left( u+v\right) ^3=u^3+v^3+3uv\left( u+v\right) \\
u^3+v^3+3uv\left( u+v\right)+\frac{5}{3}\left( u+v\right)- \frac{65}{27}=0\\
u^3+v^3- \frac{65}{27}+3\left(u+v \right) \left( uv+ \frac{5}{9} \right) =0\\
\begin{cases} u^3+v^3- \frac{65}{27}=0 \\ 3\left(u+v \right) \left( uv+ \frac{5}{9} \right) =0\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3= \frac{65}{27} \\ uv+ \frac{5}{9} =0\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3= \frac{65}{27} \\ uv=-\frac{5}{9} =0\end{cases} \\
\begin{cases} u^3+v^3= \frac{65}{27} \\ u^3v^3=-\frac{125}{729} =0\end{cases} \\
t^2-\frac{65}{27}t-\frac{125}{729}=0\\
\left( t-\frac{65}{54}\right)^2- \frac{4225}{2916}- \frac{500}{2916}=0\\
\left( t-\frac{65}{54}\right)^2- \frac{4775}{2916}=0\\
\left( t-\frac{65}{54}\right)^2- \frac{15^2 \cdot 21}{2916}=0\\
\left(t-\frac{65-15 \sqrt{21} }{54} \right)\left(t-\frac{65+15 \sqrt{21} }{54} \right)=0\\
\left(t-\frac{260-60 \sqrt{21} }{216} \right)\left(t-\frac{260+60 \sqrt{21} }{216} \right)=0\\
u= \frac{1}{6} \sqrt[3]{260-60 \sqrt{21}}\\
v= \frac{1}{6} \sqrt[3]{260+60 \sqrt{21}}\\
y_{1}=u+v\\
y_{1}=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{260-60 \sqrt{21}}+\sqrt[3]{260+60 \sqrt{21}} \right) \\
x_{1}+ \frac{2}{3}=\frac{1}{6}\left(\sqrt[3]{260-60 \sqrt{21}}+\sqrt[3]{260+60 \sqrt{21}} \right)\\
x_{1}=\frac{1}{6}\left(-4+\sqrt[3]{260-60 \sqrt{21}}+\sqrt[3]{260+60 \sqrt{21}} \right)
}\)
ODPOWIEDZ