wielomian n-tego stopnia -dowód
-
klimat
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tu
- Podziękował: 42 razy
wielomian n-tego stopnia -dowód
Niech \(\displaystyle{ f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+...+a_1x+a_0}\) oraz niech a,b,c będą trzema różnymi liczbami całkowitymi takimi że \(\displaystyle{ f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a}\). Pokaż że istnieje co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a_0,a_1,...a_n}\) jest całkowita.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10217
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: wielomian n-tego stopnia -dowód
Teza jest nieprawdziwa: rozważmy wielomiany
\(\displaystyle{ p(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} \cdot 2 + \frac{(x-3)(x-1)}{(2-3)(2-1)} \cdot 3 + \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} \cdot 1 = -\frac{3}{2} x^2 + \frac{11}{2} x - 2 \\[2ex]
q(x) = \pi(x-1)(x-2)(x-3)(x-\pi) = \pi x^4 - (6\pi+\pi^2)x^3 + (11\pi+6\pi^2)x^2 - (6\pi+11\pi^2)x + 6\pi^2.}\)
Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ f(x) = p(x)+q(x)}\) spełnia \(\displaystyle{ f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1}\), ale łatwo sprawdzić, że wszystkie współczynniki są niewymierne, co wynika z przestępności liczby \(\displaystyle{ \pi}\).
\(\displaystyle{ p(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)} \cdot 2 + \frac{(x-3)(x-1)}{(2-3)(2-1)} \cdot 3 + \frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)} \cdot 1 = -\frac{3}{2} x^2 + \frac{11}{2} x - 2 \\[2ex]
q(x) = \pi(x-1)(x-2)(x-3)(x-\pi) = \pi x^4 - (6\pi+\pi^2)x^3 + (11\pi+6\pi^2)x^2 - (6\pi+11\pi^2)x + 6\pi^2.}\)
Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ f(x) = p(x)+q(x)}\) spełnia \(\displaystyle{ f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1}\), ale łatwo sprawdzić, że wszystkie współczynniki są niewymierne, co wynika z przestępności liczby \(\displaystyle{ \pi}\).