Nierówności równoważne

[inusia146]

Czy nierówność \(\displaystyle{ a^3>b^3}\) jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ a>b}\)? A jeśli tak, to czy działa to dla każdej potęgi o wykładniku nieparzystym?

[a4karo]

Tak, dla dodatnich nieparzystych wykładników

[JHN]

\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b)\left[\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]}\)
Wobec dodatniości
\(\displaystyle{ \left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ a\ne b}\), wyrażenia \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) i \(\displaystyle{ a-b}\) są zgodnego znaku.
Analogicznie można wykazać poprawność dla innych dodatnich wykładników nieparzystych.

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Czy nierówność \(\displaystyle{ a^3>b^3}\) jest równoważna nierówności \(\displaystyle{ a>b}\)? A jeśli tak, to czy działa to dla każdej potęgi o wykładniku nieparzystym?

Wynika to z tego, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\) (i ogólnie \(\displaystyle{ f(x)=x^{2n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\in\NN}\)) jest funkcją (ściśle) rosnącą.

JK