Wyznaczyć zbiór punktów

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: 41421356 »

Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ (a,b)}\) płaszczyzny takich, że \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są wartościami parametrów, dla których równanie \(\displaystyle{ 3a^4x^5-5a^2x^3-b=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: kerajs »

\(\displaystyle{ W(x)=3a^4x^5-5a^2x^3-b \wedge a> 0\\
W'(x)=15a^2x^2(a^2x^2-1)}\)

Równanie ma trzy pierwiastki jeśli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W_{max}>0 \\ W_{min}<0 \end{cases} \\
\begin{cases} W( \frac{-1}{a} ) >0 \\ W( \frac{1}{a} ) <0 \end{cases} }\)


dla \(\displaystyle{ a<0}\) rozwiąż:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W( \frac{1}{a} ) >0 \\ W( \frac{-1}{a} ) <0 \end{cases} }\)
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: 41421356 »

A czy to rozbijanie wartości \(\displaystyle{ a}\) na mniejsze bądź większe od zera ma sens skoro wszędzie ta wartość występuje w parzystej potędze?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: a4karo »

Nie ma, ale osobno trzeba rozważyć przypadek `a=0`
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: 41421356 »

Rozumiem, z rozwiązania odpadną osie układu współrzędnych. Dziękuję za pomoc.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: kerajs »

41421356 pisze: 23 kwie 2020, o 18:34 Rozumiem, z rozwiązania odpadną osie układu współrzędnych.
NIe o to chodzi .
Dla \(\displaystyle{ a=0}\) równanie ma postać \(\displaystyle{ b=0}\) , więc nie ma ono trzech pierwiastków.
41421356 pisze: 23 kwie 2020, o 17:33 A czy to rozbijanie wartości \(\displaystyle{ a}\) na mniejsze bądź większe od zera ma sens skoro wszędzie ta wartość występuje w parzystej potędze?
No właśnie, że nie wszędzie występuje w parzystej potędze, i stąd owo rozbicie.

Owszem, układ można zapisać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W_{max}>0 \\ W_{min}<0 \end{cases} \\
\begin{cases} W( \frac{-1}{|a|} ) >0 \\ W( \frac{1}{|a|} ) <0 \end{cases} }\)

ale czy w ten sposób uciekniesz od wpływu znaku parametru \(\displaystyle{ a}\) na rozwiązanie?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: a4karo »

Dla `a\ne 0` funkcja `V(x)=3a^4x^5-5a^2x^3` jest nieparzysta a jej pochodna `V'(x)=15a^2x^2(a^2x^2-1)` zmienia znak dwukrotnie w punktach `\pm1/|a|`
Niezależnie od znaku `a` funkcja `V` rośnie w przedziale \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{|a|}\right)\), maleje w `(-1/|a|,1/|a|)` a potem znów rośnie.
Stąd wniosek, że trzykrotnie przyjmowane są wszystkie wartości pomiędzy `-2/|a|` i `2/|a|`.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 538
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 495 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Wyznaczyć zbiór punktów

Post autor: 41421356 »

Dziękuję bardzo za wskazówki oraz dwa sposoby na rozwiązanie tego problemu. Już wszystko jasne 🙂
ODPOWIEDZ