Wyznaczyć zbiór punktów
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Wyznaczyć zbiór punktów
Wyznaczyć zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ (a,b)}\) płaszczyzny takich, że \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są wartościami parametrów, dla których równanie \(\displaystyle{ 3a^4x^5-5a^2x^3-b=0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Wyznaczyć zbiór punktów
\(\displaystyle{ W(x)=3a^4x^5-5a^2x^3-b \wedge a> 0\\
W'(x)=15a^2x^2(a^2x^2-1)}\)
Równanie ma trzy pierwiastki jeśli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W_{max}>0 \\ W_{min}<0 \end{cases} \\
\begin{cases} W( \frac{-1}{a} ) >0 \\ W( \frac{1}{a} ) <0 \end{cases} }\)
dla \(\displaystyle{ a<0}\) rozwiąż:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W( \frac{1}{a} ) >0 \\ W( \frac{-1}{a} ) <0 \end{cases} }\)
W'(x)=15a^2x^2(a^2x^2-1)}\)
Równanie ma trzy pierwiastki jeśli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W_{max}>0 \\ W_{min}<0 \end{cases} \\
\begin{cases} W( \frac{-1}{a} ) >0 \\ W( \frac{1}{a} ) <0 \end{cases} }\)
dla \(\displaystyle{ a<0}\) rozwiąż:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W( \frac{1}{a} ) >0 \\ W( \frac{-1}{a} ) <0 \end{cases} }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 538
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 495 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Wyznaczyć zbiór punktów
A czy to rozbijanie wartości \(\displaystyle{ a}\) na mniejsze bądź większe od zera ma sens skoro wszędzie ta wartość występuje w parzystej potędze?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Re: Wyznaczyć zbiór punktów
NIe o to chodzi .
Dla \(\displaystyle{ a=0}\) równanie ma postać \(\displaystyle{ b=0}\) , więc nie ma ono trzech pierwiastków.
No właśnie, że nie wszędzie występuje w parzystej potędze, i stąd owo rozbicie.
Owszem, układ można zapisać tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} W_{max}>0 \\ W_{min}<0 \end{cases} \\
\begin{cases} W( \frac{-1}{|a|} ) >0 \\ W( \frac{1}{|a|} ) <0 \end{cases} }\)
ale czy w ten sposób uciekniesz od wpływu znaku parametru \(\displaystyle{ a}\) na rozwiązanie?
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Wyznaczyć zbiór punktów
Dla `a\ne 0` funkcja `V(x)=3a^4x^5-5a^2x^3` jest nieparzysta a jej pochodna `V'(x)=15a^2x^2(a^2x^2-1)` zmienia znak dwukrotnie w punktach `\pm1/|a|`
Niezależnie od znaku `a` funkcja `V` rośnie w przedziale \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{|a|}\right)\), maleje w `(-1/|a|,1/|a|)` a potem znów rośnie.
Stąd wniosek, że trzykrotnie przyjmowane są wszystkie wartości pomiędzy `-2/|a|` i `2/|a|`.
Niezależnie od znaku `a` funkcja `V` rośnie w przedziale \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{|a|}\right)\), maleje w `(-1/|a|,1/|a|)` a potem znów rośnie.
Stąd wniosek, że trzykrotnie przyjmowane są wszystkie wartości pomiędzy `-2/|a|` i `2/|a|`.