Reszta z dzielenia wielomianu

[Erionn]

Witam, natrafiłem na następujące zadanie i nie mam za bardzo pomysłu jak to ugryźć, pomógłby ktoś?

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{5}+ax ^{3}+bx+2013 }\) przez \(\displaystyle{ x ^{2}+2014x+1}\) jest równa \(\displaystyle{ 4026}\). Wykaż, że wielomian W jest podzielny przez \(\displaystyle{ x ^{2}-2014x+1}\).

[JHN]

Zauważ i wykorzystaj fakt, że \(\displaystyle{ W_1(x)=x ^{5}+ax ^{3}+bx}\) jest funkcją nieparzystą

Pozdrawiam

[Erionn]

Nadal nie mam pojęcia co z tym zrobić, wyjaśnisz bardziej?

[JHN]

Zgodnie z oznaczeniem z poprzedniego postu:

\(\displaystyle{ W_1(x)+2013=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+4026}\)

\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+2013}\)

\(\displaystyle{ W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q(-x)+2013\ \ \ |\cdot (-1)}\)

\(\displaystyle{ -W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot\left[- Q(-x)\right]-2013 \ \ \wedge \ \ W_1(-x)=-W_1(x)}\)

\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)-2013 \ \ |+2013}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)}\)

Pozdrawiam

[kerajs]

Inne, prozaiczne i pracochłonne, rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x^5+ax^3+bx+2013=(x^2+2014x+1)P(x)+4026\\
x^5+ax^3+bx-2013=(x^2+2014x+1)(x^3+px^2+qx-2013)}\)
wymnażam prawą stronę równania i porównuję współczynniki przy takich samych potęgach x dostając układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=p+2014=0 \\ a=q+2014p+1 \\ 0=-2013+2014q-p \\ b=-2013 \cdot 2014+q \end{cases} \Rightarrow ... \Rightarrow \begin{cases} p=-2014 \\ q= \frac{4027}{2014} \\ a=\frac{-2014^3+6041}{2014} \\ b=\frac{4027-2014^2 \cdot 2013}{2014} \end{cases} }\)

Wystarczy teraz podzielić znany już \(\displaystyle{ W(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^2+2014x+1}\) aby sprawdzić podzielność. Wychodzi:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2014x+1)(x^3+2014x^2+\frac{4027}{2014}x+2013)}\)