Witam, natrafiłem na następujące zadanie i nie mam za bardzo pomysłu jak to ugryźć, pomógłby ktoś?
Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{5}+ax ^{3}+bx+2013 }\) przez \(\displaystyle{ x ^{2}+2014x+1}\) jest równa \(\displaystyle{ 4026}\). Wykaż, że wielomian W jest podzielny przez \(\displaystyle{ x ^{2}-2014x+1}\).
Reszta z dzielenia wielomianu
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Reszta z dzielenia wielomianu
Zgodnie z oznaczeniem z poprzedniego postu:
\(\displaystyle{ W_1(x)+2013=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+4026}\)
\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+2013}\)
\(\displaystyle{ W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q(-x)+2013\ \ \ |\cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ -W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot\left[- Q(-x)\right]-2013 \ \ \wedge \ \ W_1(-x)=-W_1(x)}\)
\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)-2013 \ \ |+2013}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)}\)
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ W_1(x)+2013=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+4026}\)
\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}+2014x+1)\cdot Q(x)+2013}\)
\(\displaystyle{ W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q(-x)+2013\ \ \ |\cdot (-1)}\)
\(\displaystyle{ -W_1(-x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot\left[- Q(-x)\right]-2013 \ \ \wedge \ \ W_1(-x)=-W_1(x)}\)
\(\displaystyle{ W_1(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)-2013 \ \ |+2013}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x ^{2}-2014x+1)\cdot Q_1(x)}\)
Pozdrawiam
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Reszta z dzielenia wielomianu
Inne, prozaiczne i pracochłonne, rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x^5+ax^3+bx+2013=(x^2+2014x+1)P(x)+4026\\
x^5+ax^3+bx-2013=(x^2+2014x+1)(x^3+px^2+qx-2013)}\)
wymnażam prawą stronę równania i porównuję współczynniki przy takich samych potęgach x dostając układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=p+2014=0 \\ a=q+2014p+1 \\ 0=-2013+2014q-p \\ b=-2013 \cdot 2014+q \end{cases} \Rightarrow ... \Rightarrow \begin{cases} p=-2014 \\ q= \frac{4027}{2014} \\ a=\frac{-2014^3+6041}{2014} \\ b=\frac{4027-2014^2 \cdot 2013}{2014} \end{cases} }\)
Wystarczy teraz podzielić znany już \(\displaystyle{ W(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^2+2014x+1}\) aby sprawdzić podzielność. Wychodzi:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2014x+1)(x^3+2014x^2+\frac{4027}{2014}x+2013)}\)
\(\displaystyle{ x^5+ax^3+bx+2013=(x^2+2014x+1)P(x)+4026\\
x^5+ax^3+bx-2013=(x^2+2014x+1)(x^3+px^2+qx-2013)}\)
wymnażam prawą stronę równania i porównuję współczynniki przy takich samych potęgach x dostając układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=p+2014=0 \\ a=q+2014p+1 \\ 0=-2013+2014q-p \\ b=-2013 \cdot 2014+q \end{cases} \Rightarrow ... \Rightarrow \begin{cases} p=-2014 \\ q= \frac{4027}{2014} \\ a=\frac{-2014^3+6041}{2014} \\ b=\frac{4027-2014^2 \cdot 2013}{2014} \end{cases} }\)
Wystarczy teraz podzielić znany już \(\displaystyle{ W(x)}\) przez trójmian \(\displaystyle{ x^2+2014x+1}\) aby sprawdzić podzielność. Wychodzi:
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2-2014x+1)(x^3+2014x^2+\frac{4027}{2014}x+2013)}\)