Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
richman11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 gru 2017, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy

Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Post autor: richman11 »

Dzień dobry,
mam mały problem z zadaniem o treści:
"Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{5} + (1-2m)x ^{3} +(m ^{2}-1)x = 0 }\) ma
a) pięć pierwiastków;
b) dokładnie trzy pierwiastki;
c) tylko jeden pierwiastek;"

Po wyciągnięciu \(\displaystyle{ x}\) przed nawias, mam równanie postaci: \(\displaystyle{ x(x ^{4} + (1-2m)x ^{2} + (m ^{2} -1)) = 0}\), czyli równanie ma zawsze przynajmniej jeden pierwiastek \(\displaystyle{ x = 0}\). Więc, zostaje mi do analizy część równania \(\displaystyle{ x ^{4} + (1-2m)x ^{2} + (m ^{2} -1) = 0}\). Podstawiając zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t}\) za \(\displaystyle{ x ^{2}}\) otrzymują równanie kwadratowe \(\displaystyle{ t^{2} + (1-2m)t + (m ^{2} -1) = 0}\). W poleceniu do zadania nie ma mowy o tym aby pierwiastki były różne, więc dla kolejnych podpunktów ustaliłem takie warunki:
a) 5 pierwiastków, czyli: \(\displaystyle{ \Delta > 0; t _{1} \cdot t _{2} \ge 0; t _{1}+t _{2} \ge 0}\), czyli, równanie ze zmienną \(\displaystyle{ t}\) musi mieć 2 nieujemne pierwiastki.
b) dokładnie trzy pierwiastki, czyli \(\displaystyle{ \Delta = 0}\) i \(\displaystyle{ t _{1}=t _{2} > 0}\) lub \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) i \(\displaystyle{ t _{1} \cdot t _{2} < 0}\) plus sprawdzam osobno dla \(\displaystyle{ m = 1}\) i \(\displaystyle{ m = -1}\)
c) tylko jeden pierwiastek, tutaj dałem w odpowiedzi wszystkie wartości \(\displaystyle{ m}\), które nie znalazły się w rozwiązaniach podpunktu a) i b).
Po rozwiązaniu otrzymałem takie wyniki:
a) \(\displaystyle{ m \in \left\langle 1; \frac{5}{4} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ m \in \left\langle -1;1 \right) \cup \left\{ \frac{5}{4} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -1\right) \cup \left(\frac{5}{4}; \infty \right) }\)
Jednak w zbiorze z zadaniami mam takie odpowiedzi:
a) \(\displaystyle{ m \in \left( 1; \frac{5}{4} \right)}\)
b) \(\displaystyle{ m \in \left( -1;1 \right\rangle \cup \left\{ \frac{5}{4} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ; -1 \right\rangle \cup \left(\frac{5}{4}; \infty \right) }\).
Czyli według autora zadania mam błędy dla wartości \(\displaystyle{ m = 1}\) i \(\displaystyle{ m = -1}\).
Podstawiając do wyjściowego równania:
\(\displaystyle{ m = 1}\), otrzymuję: \(\displaystyle{ x ^{3}\left( x-1\right)\left( x+1\right) = 0 }\), czyli według mnie mam tu 5 pierwiastków, 3 równe \(\displaystyle{ 0}\), 1 równy \(\displaystyle{ -1}\) i 1 równy \(\displaystyle{ 1}\), według autora 3 pierwiastki: \(\displaystyle{ -1, 0, 1.}\)
\(\displaystyle{ m = -1}\), otrzymuję: \(\displaystyle{ x ^{3}\left( x ^{2} +3\right) = 0 }\), czyli według mnie mam tu 3 pierwiastki, wszystkie równe \(\displaystyle{ 0}\), według autora 1 pierwiastek równy \(\displaystyle{ 0}\).
Problem mam z tym zadaniem taki, że autor nie mówi w poleceniu, że mam szukać różnych pierwiastków, a w odpowiedziach są one uwzględnione, więc albo mój tok myślenia jest błędny, albo autor zadania wyraził się niejednoznacznie.
Jeśli się mylę, czy mógłby ktoś mnie poprawić? Pozdrawiam i dziękuję.
Ostatnio zmieniony 3 lut 2020, o 18:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Post autor: a4karo »

Podejrzewam, że autor zadając pytanie o ilość pierwiastków miał na myśli ilość elementów w zbiorze pierwiastków rzeczywistych. Niestety, nie każde zadanie jest precyzyjnie sformułowane, co powoduje, że w testach uczniowie myślący często udzielają odpowiedzi niezgodnych z kluczem.

Z drugiej strony szkoła uczy, że w przypadku trójmianu o zerowym wyróżniku mamy do czynienia z jednym pierwiastkiem podwójnym. Może więc nie warto komplikować sobie życia
richman11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 gru 2017, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy

Re: Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Post autor: richman11 »

Tak, tylko w tym zbiorze są zadania gdzie jest wyszczególnione, że szukamy różnych pierwiastków, oraz są zadania takie jak te, gdzie nie ma tej informacji. Nie ukrywam, że jest to trochę frustrujące. Można więc założyć, że treść zadania jest niejednoznaczna?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Post autor: Jan Kraszewski »

Przyjmij, że zadania zrobiłeś dobrze, a różnica jest w interpretacji otrzymanych wyników.

JK
richman11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 11 gru 2017, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy

Re: Ilość pierwiastków a ich krotność. Problem z poleceniem.

Post autor: richman11 »

Dziękuję za pomoc.
ODPOWIEDZ