Równanie 3 stopnia

[athame]

Proszę o wskazówki, jak rozwiązać takie równanie:

\(\displaystyle{ 4x^3-12x-6=0}\)

Dodam, że rozwiązanie proponowane przez Wolframa jest kompletnie niezrozumiale dla ucznia liceum. Przyda się jak najprostsze.

[Premislav]

A w jaki sposób zaistniała potrzeba rozwiązania tego zadania na poziomie liceum? Może po prostu uczeń źle przepisał albo wystąpił błąd w książce lub w notatkach nauczyciela?

W takiej czy innej formie nie uciekniesz tu od wzorów Cardana, por. też: Równanie sześcienne

[athame]

Przepisane dobrze. Taka fantazja nauczyciela. Wolfram proponuje obliczenia na liczbach zespolonych, co jest problematyczne na poziomie liceum.

[Psiaczek]

można równanie przeskalować : \(\displaystyle{ x=2y}\) czyli \(\displaystyle{ 32y^3-24y-6=0}\) po podzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\) mamy

\(\displaystyle{ 4y^3-3y= \frac{3}{4} }\)

podstawiamy \(\displaystyle{ y=\sin u}\)

mamy \(\displaystyle{ 4\sin^3u-3 \sin u= \frac{3}{4} }\)

a lewa strona to wzór na sinus potrojonego kąta , i wychodzą trzy pierwiastki rzeczywiste bez użycia zespolonych, chociaż kąt nie jest ładny, ładniejsze byłyby na przykład przy wyrazie wolnym \(\displaystyle{ 4}\)

[Premislav]

Super! Szukałem tego sinusa potrojonego kąta, ale coś mi nie wyszło, ponieważ nie wpadłem na akurat takie przeskalowanie albo pomyliłem się w rachunkach.

[Mariusz M]

@Psiaczek

Jeśli zdecydowałeś się na podstawienie \(\displaystyle{ y=\sin{u}}\)
to powinieneś równanie
\(\displaystyle{ 4\sin^3u-3 \sin u= \frac{3}{4} }\)
pomnożyć przez \(\displaystyle{ -1}\).

Gdybyś zastosował podstawienie \(\displaystyle{ y=\cos{u}}\)
to nie musiałbyś mnożyć równania
\(\displaystyle{ 4\cos^3u-3 \cos u= \frac{3}{4}. }\)