Poszukiwanie szybszego rozwiązania - pochodne MATURA

[Fuspepro]

Witam, poszukuję innego szybszego rozwiązania tego typu zadań. Normalnie mi to zajmuje z 25min+.

Oblicz najmniejszą wartość wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-3)(x-7)(x-9)+40}\) i określ, dla jakich wartości argumentu x jest osiągana.

Rozpiszę teraz jak ja wykonałem to zadanie:
1. Mnożę nawiasy i dochodzę do wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{4}-20^{3}+130^{2}-300^{x}+229 }\)
2. Liczę pochodną \(\displaystyle{ W'(x)=4x ^{3}-60x^{2}+260x-300 = 4(x^{3}-15x^{2}+65x-75)}\)
3. \(\displaystyle{ W'(x)=0}\)
4. Po długim czasie zauważam, że \(\displaystyle{ W'(5)=0}\)
5. Schemat Hornera i dzielę
6. \(\displaystyle{ W'(x)=(x-5)(x^{2}-10x+15)}\)
7. \(\displaystyle{ W'(x)=0 \Rightarrow x=5 \vee x^{2}-10x+15=0 }\)
8. \(\displaystyle{ W'(x)=0 \Rightarrow x=5 \vee x=5- \sqrt{5} \vee x=5+ \sqrt{5} }\)
9. Liczę wartości pochodnej dla wartości należącej do 4 przedziałów:
\(\displaystyle{ x \in (- \infty , 5- \sqrt{5} )}\)
\(\displaystyle{ x \in (5- \sqrt{5},5 )}\)
\(\displaystyle{ x \in (5, 5+ \sqrt{5} )}\)
\(\displaystyle{ x \in (5+ \sqrt{5} , \infty )}\)
Bo tutaj nie ma miejsc na zgadywanie, trzeba to policzyć aby określić gdzie jest minimum a gdzie maksimum

Zapisuję, że (raczej robię tabelkę bo jest szybciej)
\(\displaystyle{ W'(x)}\) jest ujemne gdy \(\displaystyle{ x \in (- \infty , 5- \sqrt{5} ) }\) \(\displaystyle{ \Rightarrow W(x)}\) jest malejąca
\(\displaystyle{ W'(x)}\) jest ujemne gdy \(\displaystyle{ x \in (5- \sqrt{5},5 )}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow W(x)}\) jest rosnąca
\(\displaystyle{ W'(x)}\) jest ujemne gdy \(\displaystyle{ x \in (5, 5+ \sqrt{5} )}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow W(x)}\) jest malejąca
\(\displaystyle{ W'(x)}\) jest ujemne gdy \(\displaystyle{ x \in (5+ \sqrt{5} , \infty )}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow W(x)}\) jest rosnąca

Wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) ma dwa minimum lokalne dla \(\displaystyle{ x=5- \sqrt{5}}\) i \(\displaystyle{ x=5+ \sqrt{5}}\)

Teraz trzeba policzyć \(\displaystyle{ W(5+ \sqrt{5})}\) i \(\displaystyle{ W(5i \sqrt{5})}\) i określić, które z nich ma mniejszą wartość.

Takie zadanie zajmuje mnóstwo czasu, którego na maturze NIE MA. Jak mogę rozwiązać takie zadanie szybciej, jeżeli muszę napisać maturę z matmy rozszerzonej na minimum 85%?

Znalazłem taki post, lecz totalnie nie rozumiem tego II sposobu [ciach]

[kmarciniak1]

No tamten 2 sposób jest raczej trickowy i nie sądzę, że na maturze na taki wpadniesz. Ale w tym Twoim rozwiązaniu zwyczajnie robisz nadmiarowe rzeczy. Po co Ci badanie przebiegu zmienności funkcji? Wystarczy, że policzysz wartość funkcji w punktach gdzie pochodna się zeruje i wybierzesz ten najmniejszy. A to że jeden z nich jest maksimum to nam nie przeszkadza.

[piasek101]

Sposób z podstawianiem jest ogólnie znany - był tu już wielokrotnie na forum.
Poszukam i podam.
[edit] Na razie jedno (a było też w kilku miejscach dokładnie takie jak Twoje) :
wielomian z paramtrem a. Znaleźć pierwiastki.

najmniejsza wartosc wielomianu

[a4karo]

W pkt 8 rozwiązania pierwiastki są żle policzone.

Zadanie jest ładne, a konkursowe rozwiązanie wygląda tak

Rozpatrzmy wielomian \(V(x)=(x-1)(x-3)(x-7)(x-9)=W(x)-40\). Oczywiście jeżeli znajdziemy najmniejszą wartość `V`, to najmniejszą wartość `W` będzie o `40` większa.

Niech `x=t+5`. Wtedy `V(t+5)=(t+4)(t+2)(t-2)(t-4)=(t^2-4)(t^2-16)=U(t)`. Wielomian `U` jest funkcją parzystą, więc jeżeli znajdziemy jego minimum `t_0>0`, to w `-t_0` też będzie minimum.

Zauważmy, że wielomian `U(t)` przyjmuje takie same wartości jak wielomian `(z-4)(z-16)` przy dodatnich `z`. To jest trójmian kwadratowy, a te przyjmują wartości minimalne dokładnie w środku między pierwiastkami, czyli dla `t_0^2=z_0=10`. Ta najmniejsza wartość jest równa `-36`.

"Odkręcając zmienne" dostajemy, że `W` przyjmuje najmniejszą wartość równą `-36+40=4` w punktach `5+\sqrt{10}` i `5-\sqrt{10}`.

Zabawne, izomorficzne rozwiązanie, którego nie rozumiesz, jest w linku,

[Fuspepro]

W pkt 8 rozwiązania pierwiastki są żle policzone.

Zgadza się, źle przepisałem z zeszytu. \(\displaystyle{ 5+\sqrt{10}}\) i \(\displaystyle{ 5-\sqrt{10}}\)

Niech `x=t+5`. Wtedy `V(t+5)=(t+4)(t+2)(t-2)(t-4)=(t^2-4)(t^2-16)=U(t)`. Wielomian `U` jest funkcją parzystą, więc jeżeli znajdziemy jego minimum `t_0>0`, to w `-t_0` też będzie minimum.

Przy takim zadaniu niestety uczniowie mają problem "wychodzenia poza schematy", ciężko zauważyć że gdy za x podstawimy t+5 to nawiasy nam się "zwiną" ze wzorów skróconego mnożenia. Na egzaminach panuje ten stres i zwykle człowiek rozpędzony wykonywaniem zadań woli bazować na schematach, które nie zawsze są lepsze, ale często bezpieczniejsze, bo są wyćwiczone i można "mniej myśleć".

Zadanie wydaje mi się już zrozumiałe i lepiej wytłumaczone niż te z mojego linku.
Staram się jak najszerzej poznawać rozwiązania różnych zadań, aby być jak najlepiej przygotowany.

Dziękuję wszystkim za pomoc.