Zza kanapy, sprawdź tam, czasami się jakaś znajdzie. A bardziej serio choć wciąż nieformalnie, to znikąd po prostu piszemy sobie tabliczkę z liczbami i mamy. Akt napisania tabliczki liczb jest aktem stwórczym. A formalnie to ze zboru takich tabliczek czyli
macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ M_{n \times n}(R)}\) o współczynnikach z pierścienia przemiennego \(\displaystyle{ R}\)
Czyli Pan wziął wyznacznik od \(\displaystyle{ a,b,c}\)
Nie od \(\displaystyle{ a,b,c}\) tylko od \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a & b & c \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}}\). Potem przerobiłem wzorem na liczenie wyznacznika i wyszło \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}\). A jednocześnie pokazałem, że to wszystko jest równe wyznacznikowi z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}}\) pomnożonemu przez \(\displaystyle{ (a+b+c)}\). A wyznacznik z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}}\) jak się przerobi wzorem to wychodzi \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a }\) czyli ostatecznie wyszło, że:
\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a)}\)
Ja próbuję sobie przemyśleć to, co mi Pan napisał, ale bez większych efektów. Czyli obliczył Pan funkcję wyznacznikową, która jest równa normalnej funkcji?
Nie wiem co to jest normalna funkcja. Dostałem wyrażanie zależne od jakichś parametrów liczbowych \(\displaystyle{ a,b,c}\) które jest wartością tego wyznacznika. Wyznacznik policzyłem za pomocą sposobu jaki pokazałem ale po drodze wykonałem kilka przekształceń, i te może sprawiać Ci kłopot bo przekształcenia wyznaczników wymagają znajomości reguł w jaki można to robić. Reguł tych nie wypisałem więc patrzysz tylko na gotowy produkt bez zaglądania do kuchni. Nie czas i miejsce na wykład o własnościach wyznaczników, te można znaleźć w każdej książce algebry liniowej i internecie. Naturalne jest, że nie wszystko rozumiesz potraktuj ten sposób jako ciekawostkę a jeśli naprawdę chcesz nauczyć się wyznaczników to zacznij od macierzy i działania na nich. Gdy się oswoisz z tymi tabliczkami to łatwiej i naturalniej będzie Ci przypisywać im jakieś liczby i w ogóle na nich działać.
