Rozkład na czynniki

[Niepokonana]

Twój link zawiera wiele znaczków, których nie znam. Niewiele z tego rozumiem.

[Elayne]

Inaczej:
\(\displaystyle{ a^3 + b^3 + c^3- 3 a b c = \\
a^3 + b^3 + c^3 - a b c - a b c - a b c = \\
(a^3 - a b c) + (b^3 - a b c) + (c^3 - a b c) = \\
a(a^2 - b c) + b(b^2 - a c) + c(c^2 - a b) = \\
(a + b + c - b - c)(a^2 - b c) + (b + a + c - a - c)(b^2 - a c) + (c + a + b - a - b)(c^2 - a b) = \\
(a + b + c)(a^2 - b c) + (- b - c)(a^2 - b c) + (a + b + c)(b^2 - a c) + \\
+ (- a - c)(b^2 - a c) + (a + b + c)(c^2 - a b) + (- a - b)(c^2 - a b) }\)
Ponieważ:
\(\displaystyle{ (- b - c)(a^2 - b c) + (- a - c)(b^2 - a c) + (- a - b)(c^2 - a b) = 0}\)
to mamy
\(\displaystyle{ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - a b - b c - c a)}\)

[Premislav]

Smuteczeg.

Troszkę inaczej: rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-a)(x-b)(x-c)}\)
Oczywiście mamy \(\displaystyle{ W(a)=0, \ W(b)=0, \ W(c)=0}\), czyli \(\displaystyle{ W(a)+W(b)+W(c)=0}\).
„Rozwinięta" forma tego wielomianu po wymnożeniu to \(\displaystyle{ x^{3}-(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x-abc}\),
Zapisując więc w tych terminach równość \(\displaystyle{ W(a)+W(b)+W(c)=0}\), dostajemy
\(\displaystyle{ a^{3}-(a+b+c)a^{2}+(ab+bc+ca)a-abc+b^{3}-(a+b+c)b^{2}+(ab+bc+ca)b-abc+c^{3}-(a+b+c)c^{2}+(ab+bc+ca)c-abc=0\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(a+b+c)-(ab+bc+ca)(a+b+c)\\a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=\ldots}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac+2bc+2ab)(a+b+c)=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ ab^{2}+b^{3}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+c^{3}+}\)
\(\displaystyle{ +2a^{2}c+2abc+2ac^{2}+2abc+2b^{2}c+2bc^{2}+2a^{2}b+2ab^{2}+2abc}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}\)
Domyślam się, że jest źle.

Dobrze.

Zatem

\(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)^3-3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc).}\)

Teraz musisz pokombinować z rozłożeniem \(\displaystyle{ a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc}\) tak, by dostać \(\displaystyle{ a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=(a+b+c)\cdot \text{coś}.}\)

JK

[Janusz Tracz]

inaczej:

\(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix}a & b & c \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}a+b+c & a+b+c & a+b+c \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}=(a+b+c)\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 \\c & a & b \\ b&c&a \end{bmatrix}}\)

[Niepokonana]

Co to za nawiasy kwadratowe? To macierzowe rozwiązywanie układów równań?
Zastanowię się, jak to rozłożyć...

[Janusz Tracz]

Są to

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wyznacznik

(które są w tych kwadratowych nawisach). Równości zachodzą bo korzystam z własności wyznaczników (działania elementarne na wierszach nie zmieniają wartości wyznaczniki oraz powtarzający się wiersz można wyciągnąć przed wyznacznik). Takie podejście szybko daje rozkład, choć wymaga wiadomości z poza licealnego kanonu (jeśli nie wiesz czym są wyznaczniki na chwilę obecną to proponuję wrócić do tego zadania w przyszłości wtedy widać zaletę takiego podejścia).

Dodano po 5 minutach 46 sekundach:
PS W podanym linku jest nawet pokazany jawny wzór na wyznacznik \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) (w dziale Obliczanie wyznaczników) jeśli chcesz to możesz jako ćwiczenie rozpisać skrajne strony podanej równości potem uprościć i zobaczyć jak to działa.

[Niepokonana]

Robiąc to zadanie, wyszłam poza liceum, wszakże w liceum nie ma innych wielomianów niż \(\displaystyle{ W(x)}\) i są tylko parametry od czasu do czasu, mogę spróbować.
Panie doktorze, nie wiem, jak to rozłożyć na czynniki.
Panie Januszu, a mógłby Pan mi wytłumaczyć pierwsze 3 linijki z tej strony wikipedi?

[Jan Kraszewski]

Panie doktorze, nie wiem, jak to rozłożyć na czynniki.

Wiesz, co ma wyjść, więc powinno być prościej.

\(\displaystyle{ a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc+abc=\\=\left( a^2b+a^2c+abc\right)+\left( ab^2+b^2c+abc\right)+\left( ac^2+bc^2+abc\right)=... }\)

JK

[Niepokonana]

A bo tu znowu trzeba podzielić to na trzy kawałki.
Jutro się zastanowię, dziś nie mam siły.

[+pomocy+]

Chyba o to chodzi \(\displaystyle{ \displaystyle{=\left( a^2b+a^2c+abc\right)+\left( ab^2+b^2c+abc\right)+\left( ac^2+bc^2+abc\right)= a(ab + ac +bc) + b(ab + bc + ac) + c(ac + bc + ab) = (ab+ac+bc) (a+b+c) }}\)

[Janusz Tracz]

Panie Januszu

Panie Tracz jak już... Januszów jest wielu.

mógłby Pan mi wytłumaczyć pierwsze 3 linijki z tej strony wikipedi?

Mógłbym.

Wyznacznik – funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ M_{n \times n}(R)}\) o współczynnikach z pierścienia przemiennego \(\displaystyle{ R}\) pewien element tego pierścienia. Pierścieniem \(\displaystyle{ R}\) może być np. ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych.

Na początek, Ciebie interesuje właściwie tylko pierwsze słowo definicji czyli wyznacznik jest funkcją całe to mambo jambo o pierścieniach sobie odpuść (na wszystko przyjdzie czas). A teraz dokładniej o samej funkcji.

Wyznacznik może być zdefiniowany na kilka równoważnych sposobów. Niezależnie od tego wyznacznik można traktować jako funkcję nie samej macierzy, a jej współczynników

\(\displaystyle{ a_{11},\dots ,a_{1n},\dots ,a_{n1},\dots a_{nn}}\)

Jest on wówczas wielomianem \(\displaystyle{ n^2}\) zmiennych stopnia \(\displaystyle{ n}\) o współczynnikach z \(\displaystyle{ R}\).

Czyli wyznacznik jest funkcją wielu zmiennych której wynikiem jest liczba. Możesz to traktować jak pewien przepis (kulinarny) opisujące procedurę działania na wielu składnikach

\(\displaystyle{ \text{przepis}\left( \text{jajka, mąka, cukier}\right)=\text{ciasto} }\)

ale już

\(\displaystyle{ \text{przepis}\left( \text{jajka, mąka, } 5 \times \text{cukier}\right)=\text{słodkie ciasto} }\)

Tak samo tu

\(\displaystyle{ \text{wyznacznik}\left( \text{kwadratowa tabliczka liczb}\right)=\text{liczba} }\)

Tylko, że zamiast pisać \(\displaystyle{ \text{wyznacznik}}\) umówiono się pisać \(\displaystyle{ \det}\) (są też inne konwencje ale mniejsza o szczegóły) oraz zamiast \(\displaystyle{ \text{kwadratowa tabliczka liczb}}\) mówi się o macierzy (akurat tu wypada wspomnieć, że macierz to nie jest prostokątna tabelka z liczbami ale nie będę teraz Ci mącić jeszcze bardziej bo nie ma to sensu jeśli jest to Twoje pierwsze spotkanie z tymi pojęciami i masz coś z tego zrozumieć).

I teraz praktyczne spojrzenie. Wyznacznik \(\displaystyle{ 3 \times 3}\) liczy się tak

\(\displaystyle{ \underbrace{\det}_{\text{wyznacznik}} \underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}_{\text{kwadratowa tabliczka liczb}}=\underbrace{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}_{\text{liczba}} }\)

Oczywiście to jest gotowy wzór on wynika z definicji, ale to jest ten przepis jak mieszać kwadratową tabliczką liczb by dostać liczbę. Przepis określa reguły gry na tych tabliczkach (macierzach).

No i moja propozycja polegała na przedstawianiu \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}\) za pomocą wyznacznika macierzy na dwa różne sposoby z czego jeden jest bezpośrednim przedstawianiem \(\displaystyle{ a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}\) a drugi jest postacią iloczynową. Sama możesz się o tym przekonać wstawiając literki pod podany przepis.

[Niepokonana]

Przepraszam, ale nie zrozumiałam, co to jest ten wyznacznik. Jego wynikiem jest liczba, ale jaka liczba i funkcją jakich zmiennych jest?

[Janusz Tracz]

Przepraszam, ale nie zrozumiałam, co to jest ten wyznacznik.

Obawiam się, że bardziej obrazowo nie umiem tego wytłumaczyć.

Jego wynikiem jest liczba, ale jaka liczba

\(\displaystyle{ \underbrace{\det}_{\text{wyznacznik}} \underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}_{\text{kwadratowa tabliczka liczb}}=\underbrace{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}_{\red{\text{ta liczba }}} }\)

i funkcją jakich zmiennych jest?

\(\displaystyle{ \underbrace{\det}_{\text{wyznacznik}} \underbrace{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}_{\red{\text{tych zmiennych}}}=\underbrace{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}}_{\text{liczba}} }\)

PS może nie potrzebnie pisałem o tym wyznaczniku, tylko namieszałem sorki.

[Niepokonana]

A dobra, rozumiem jako tako. Tylko skąd bierzemy tablicę tych zmiennych?
Nie no spoko, często w moich wątkach jest zamieszanie.