Rozkład na czynniki

[Niepokonana]

Witam
Proszę o wskazówkę. Jak rozłożyć na czynniki taki wielomian \(\displaystyle{ W(a,b,c)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}\)?

[kerajs]

Może tak:
\(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)\left[ (a+b+c)^2-3(ab+ac+bc)\right] }\)

[Niepokonana]

Ale skąd się to wzięło? Nie rozumiem

[Jan Kraszewski]

Ale skąd się to wzięło?

Z doświadczenia kerajsa...

JK

[Niepokonana]

Ale ja nie wiem, jaki kerajs ma doświadczenia.

[Jan Kraszewski]

Ale ja nie wiem, jaki kerajs ma doświadczenia.

Spore...

Możesz zacząć od rozpisania \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)^3 }\). Dostaniesz to, co chcesz i resztę. Potem zajmiesz się tą resztą.

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc)(a+b+c)=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{3}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+c^{3}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}}\)



Dobrze?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \red{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc)}(a+b+c)=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{3}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+c^{3}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2}}\)

Dobrze?

Jeżeli to miałoby być \(\displaystyle{ \left( a+b+c\right)^3 }\) to zdecydowanie nie. Skąd wzięłaś czerwony czynnik?

JK

[Niepokonana]

Bo to jest \(\displaystyle{ (a+b+c)^{2}}\), przynajmniej tak to zapamiętałam.

[Thingoln]

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc +2ac}\)
Od siebie dodam, że można przedstawić ten wielomian także w takiej postaci:
\(\displaystyle{ a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = \frac{1}{2} (a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2)}\)
Po wciągnięciu ułamka do drugiego nawiasu i zauważeniu tego wzoru skróconego mnożenia, otrzymamy postać kerajsa

[Jan Kraszewski]

Bo to jest \(\displaystyle{ (a+b+c)^{2}}\), przynajmniej tak to zapamiętałam.

Nie wierz przesadnie swojej pamięci. Przecież to można szybko przeliczyć i sprawdzić.

JK

[Niepokonana]

Czyli mam jeszcze raz przemnożyć?

[Jan Kraszewski]

Tak.

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ (a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac+2bc+2ab)(a+b+c)=}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+a^{2}b+a^{2}c+ ab^{2}+b^{3}+b^{2}c+ac^{2}+bc^{2}+c^{3}+}\)
\(\displaystyle{ +2a^{2}c+2abc+2ac^{2}+2abc+2b^{2}c+2bc^{2}+2a^{2}b+2ab^{2}+2abc}\)
\(\displaystyle{ =a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}\)
Domyślam się, że jest źle.

[Premislav]

Jest dobrze, ale żeby nie zastanawiać się nad takim wymnażaniem zbyt długo, polecam wzór wielomianowy (czy jak to tam przetłumaczyć), uogólnienie wzoru dwumianowego Newtona:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem