Nie potrafię rozwiązać tego wielomianu

[Gallax]

Witam.
Dostałem do zrobienia zbadanie przebiegu funkcji. Przykład napisany na kolanie, przez wykładowcę.
Wszystko było dobrze do drugiej pochodnej, która przyrównana do 0 wyszła
\(\displaystyle{ 6( 16x^{3}+ 84x^{2}+12x+7)=0 }\)
Nie jestem w stanie obliczyć X z tego równania.
Proszę o pomoc.

[Premislav]

Może wykładowca robił tak, jak ja na plaży w północnych Włoszech w 2013 roku, tj. wymyślamy sobie na poczekaniu całkę nieoznaczoną, nie zastanawiając się np. nad kryterium Czebyszewa i podobną egzotyką, i potem wielkie zdziwienie po niepowodzeniu i
wklepaniu do kompa, że jest nieelementarna.

Zacznijmy od przepisania tego w formie
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{21}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{7}{16}=0}\)
Następnie przedstawmy lewą stronę w postaci
\(\displaystyle{ \left(x+a\right)^{3}+b(x+a)+c}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c\in \RR}\). Jak się zna wzory skróconego mnożenia (tutaj na sześcian sumy), to nie ma potrzeby dokładnego wyliczania, gdyż narzuca się \(\displaystyle{ a=\frac{7}{4}}\). Po krótkich obliczeniach dostajemy, że
\(\displaystyle{ x^{3}+\frac{21}{4}x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{7}{16}=\left(x+\frac{7}{4}\right)^{3}-\frac{135}{16}\left(x+\frac{7}{4}\right)+\frac{315}{32} }\)
Teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t=x+\frac{7}{4}}\) i mamy równanie
\(\displaystyle{ t^{3}-\frac{135}{16}t+\frac{315}{32}=0}\)
a to się rozwiązuje wzorami Cardana:

Ja bym jednak polecał sprawdzić, czy dobrze przepisałeś przykład, a potem (np. w wolframie) czy dobrze obliczyłeś pochodne.

[Gallax]

Ja bym jednak polecał sprawdzić, czy dobrze przepisałeś przykład, a potem (np. w wolframie) czy dobrze obliczyłeś pochodne.

funkcja do zbadania : \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x ^{2}+3x+5 }{ 4x^{2} -1} }\)
pochodna: \(\displaystyle{ f'(x)= \frac{ -12x^{2}-42x-3 }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{2} } }\)
druga pochodna: \(\displaystyle{ f''(x)= \frac{\left( -24x-42\right) \left( 4x^{2}-1 \right) ^{2}-\left( -12x^{2}-42x-3 \right)*2\left( 4x^{2}-1 \right)*8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{4} }=
\frac{\left( -24x-42\right) \left( 4x^{2}-1 \right) -\left( -12x^{2}-42x-3 \right) \cdot 2 \cdot 8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{3} }=\\=6 \cdot \frac{\left( -4x-7\right) \left( 4x^{2}-1 \right) -\left( -8x^{2}-14x-1 \right) \cdot 8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{3} }= \frac{6( 16x^{3}+ 84x^{2}+12x+7) }{ (4x^{2}-1) ^{3} }}\)

Zrobiłem gdzieś błąd?

[Premislav]

Wolfram twierdzi, że masz dobrze:

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=second+derivative+of+%28x%5E2%2B3x%2B5%29%2F%284x%5E2-1%29

No cóż, to prowadzący dał „ciekawy" przykład, pewnie niecelowo. Kojarzę historię, że na egzaminie z matematyki dyskretnej na informatyce UWr trochę przez przypadek pojawiło się zadanie, w którym zaistniała konieczność rozłożenia wielomianu trzeciego stopnia bez „ładnych" pierwiastków, po prostu prowadzący czasem się mylą, jak każdy człowiek, a czasem też trochę olewają. No ale w każdym razie dalej to się liczy tak jak pisałem, w linku masz wzorki.

[Dilectus]

druga pochodna: \(\displaystyle{ f''(x)= \frac{\left( -24x-42\right) \left( 4x^{2}-1 \right) ^{2}-\left( -12x^{2}-42x-3 \right)*2\left( 4x^{2}-1 \right)*8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{4} }= \\
\frac{\left( -24x-42\right) \left( 4x^{2}-1 \right) -\left( -12x^{2}-42x-3 \right) \cdot 2 \cdot 8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{3} }=\\=6 \cdot \frac{\left( -4x-7\right) \left( 4x^{2}-1 \right) -\left( -8x^{2}-14x-1 \right) \cdot 8x }{ \left( 4x^{2}-1 \right) ^{3} }= \frac{6( 16x^{3}+ 84x^{2}+12x+7) }{ (4x^{2}-1) ^{3} }}\)

Zrobiłem gdzieś błąd?

Nie wiem, bo nie liczyłem, ale wygląda na to, że dobrze, bo w liczniku wyszedł Ci taki wielomian, jak Gallaxowi. Tyle, że trzeba sprawdzić, gdzie ta pochodna zmienia znak, a więc znaleźć jej miejsca zerowe, a więc zbadać przebieg zmienności tej pochodnej
Trzeba więc rozwiązać nierówność
\(\displaystyle{ \frac{6( 16x^{3}+ 84x^{2}+12x+7) }{ (4x^{2}-1) ^{3} }>0}\)

Podpowiedź:
Wielomian \(\displaystyle{ 16x^{3}+ 84x^{2}+12x+7}\) ma jedno miejsce zerowe \(\displaystyle{ x_{0} \in (-5,2, \ -5,1) }\)
Wiem to, bo odczytałem z wykresu.



Wielomian