Rozłóż na dwa czynniki wielomian, musztari

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Hg34tY1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 17 paź 2019, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17
Podziękował: 13 razy

Rozłóż na dwa czynniki wielomian, musztari

Post autor: Hg34tY1 » 9 sty 2020, o 17:17

Rozłóż na dwa czynniki wielomian \(\displaystyle{ x^{1985} +x+1}\)
W podpowiedziach znalazłem takie coś:
\(\displaystyle{ x^{1985} +x+1=x^{1985} -x^2+x^2+x+1=x^2[(x^3)^{661}-1]+x^2+x+1}\)
A sam jak próbowałem rozwiązać to zadanie to udało mi się wyprowadzić coś takiego \(\displaystyle{ x^5+x+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)}\) może okaże się pomocne.
Proszę o pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7374
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 210 razy
Pomógł: 2912 razy

Re: Rozłóż na dwa czynniki wielomian, musztari

Post autor: kerajs » 9 sty 2020, o 19:09

Zastanawiałem się jaka liczba zespolona wyzeruje ten wielomian. Narzuca się \(\displaystyle{ x_1= \frac{-1}{2}+i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\), i rzeczywiście jest on pierwiastkiem , a \(\displaystyle{ x^{1985} =\overline{x_1}}\). Oznacza to, że wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-\overline{x_1})}\) czyli przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\).
Z dzielenia pisemnego łatwo zauważyć, że:
\(\displaystyle{ x^{1985}+x+1=( \sum_{i=1}^{661}(x^{3i}-x^{3i-1}) +1 )(x^2+x+1) }\)

Hg34tY1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 17 paź 2019, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 17
Podziękował: 13 razy

Re: Rozłóż na dwa czynniki wielomian, musztari

Post autor: Hg34tY1 » 9 sty 2020, o 20:05

Bardzo dziękuję za pomoc i wyjaśnienie.

ODPOWIEDZ