Matematyka.pl

Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)

Spytaj Wolframa (prostych rozwiązań nie ma)

cmnstrnbnn pisze: ↑27 gru 2019, o 22:33 Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)

Podaj to równanie.

pesel pisze: ↑27 gru 2019, o 23:04 Podaj to równanie.

Ojć, nie dopisałem
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1=0 }\)

To równanie nie ma rozwiązania należącego do zbioru liczb wymiernych. Zatem pewnie musisz przybliżyć rozwiązanie stosując tw. Darboux?

lola456 pisze: ↑1 sty 2020, o 21:49 To równanie nie ma rozwiązania należącego do zbioru liczb wymiernych. Zatem pewnie musisz przybliżyć rozwiązanie stosując tw. Darboux?

użytkownik mariuszm już nie rozwiązuje tu równań 3 stopnia jak widzę, więc ja w zastępstwie

podstawiając w tym równaniu \(\displaystyle{ x=y-3}\) otrzymujemy równanie nie zawierające drugiej potęgi:

\(\displaystyle{ (y-3)^3+9(y-3)^2-7(y-3)+1=0}\)

\(\displaystyle{ y^3-9y^2+27y-27+9y^2-54y+81-7y+22=0}\)

\(\displaystyle{ y^3-34y+76=0}\)

można różnie oznaczać , tak klasycznie to \(\displaystyle{ p=-34, q=76}\) a wtedy wyróżnik tego równania wynosi:

\(\displaystyle{ \Delta= \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}=-11 \frac{19}{27}<0 }\)

jest to tzw. przypadek nieprzywiedlny, trzy pierwiastki rzeczywiste wyrażają się wzorami Cardano poprzez liczby zespolone, więc przeważnie korzysta się ze sposobu trygonometrycznego, co sprowadza się do tego że po obliczeniu kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) ze wzoru

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{- \frac{q}{2} }{ \sqrt{ \frac{-p^3}{27} }} }\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \pi ]}\)

pierwiastki dane są wzorami:

\(\displaystyle{ y_1=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha }{3} }\)

\(\displaystyle{ y_2=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+ \pi }{3} }\)

\(\displaystyle{ y_3=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+2 \pi }{3} }\)

potem wracamy do wyjściowej zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i otrzymujemy przybliżone wartości pierwiastków wyjściowego równania:

\(\displaystyle{ x_1 \approx 0.5395}\)

\(\displaystyle{ x_2 \approx-9.7300}\)

\(\displaystyle{ x_3 \approx 0.1905}\)

@ Psiaczek można było jeszcze pokazać że równanie ma postać wzoru na cosinus kąta potrojonego
aby użytkownik wiedział dlaczego ten sposób trygonometryczny zadziała