Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)
Rozwiązać równanie 3 stopnia
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
-
- Użytkownik
- Posty: 1707
- Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 412 razy
Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia
Podaj to równanie.cmnstrnbnn pisze: ↑27 gru 2019, o 22:33 Rozwiąż równanie 3 stopnia
\(\displaystyle{ x^{3}+9x^{2}-7x+1 }\)
- cmnstrnbnn
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 1 raz
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia
użytkownik mariuszm już nie rozwiązuje tu równań 3 stopnia jak widzę, więc ja w zastępstwie
podstawiając w tym równaniu \(\displaystyle{ x=y-3}\) otrzymujemy równanie nie zawierające drugiej potęgi:
\(\displaystyle{ (y-3)^3+9(y-3)^2-7(y-3)+1=0}\)
\(\displaystyle{ y^3-9y^2+27y-27+9y^2-54y+81-7y+22=0}\)
\(\displaystyle{ y^3-34y+76=0}\)
można różnie oznaczać , tak klasycznie to \(\displaystyle{ p=-34, q=76}\) a wtedy wyróżnik tego równania wynosi:
\(\displaystyle{ \Delta= \frac{p^3}{27} + \frac{q^2}{4}=-11 \frac{19}{27}<0 }\)
jest to tzw. przypadek nieprzywiedlny, trzy pierwiastki rzeczywiste wyrażają się wzorami Cardano poprzez liczby zespolone, więc przeważnie korzysta się ze sposobu trygonometrycznego, co sprowadza się do tego że po obliczeniu kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) ze wzoru
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{- \frac{q}{2} }{ \sqrt{ \frac{-p^3}{27} }} }\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha \in [0, \pi ]}\)
pierwiastki dane są wzorami:
\(\displaystyle{ y_1=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha }{3} }\)
\(\displaystyle{ y_2=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+ \pi }{3} }\)
\(\displaystyle{ y_3=2 \sqrt{ \frac{-p}{3} } \cos \frac{ \alpha+2 \pi }{3} }\)
potem wracamy do wyjściowej zmiennej \(\displaystyle{ x}\) i otrzymujemy przybliżone wartości pierwiastków wyjściowego równania:
\(\displaystyle{ x_1 \approx 0.5395}\)
\(\displaystyle{ x_2 \approx-9.7300}\)
\(\displaystyle{ x_3 \approx 0.1905}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: Rozwiązać równanie 3 stopnia
@ Psiaczek można było jeszcze pokazać że równanie ma postać wzoru na cosinus kąta potrojonego
aby użytkownik wiedział dlaczego ten sposób trygonometryczny zadziała
aby użytkownik wiedział dlaczego ten sposób trygonometryczny zadziała