Wielomian z parametrami

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 7 gru 2019, o 15:11

Witam
Proszę o pomoc, w poniedziałek mam test, a pewnych rzeczy nie umiem...
Co mam zrobić, jak mam wielomian z parametrami?
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b,c}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+bx+c}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ u(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6}\)
Ostatnio zmieniony 7 gru 2019, o 15:39 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: a4karo » 7 gru 2019, o 15:28

Chyba nigdy

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 7 gru 2019, o 15:35

Sorry, już poprawione. Stopnie mi się pomyliły...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: a4karo » 7 gru 2019, o 15:39

Nadal nigdy

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 7 gru 2019, o 15:40

Ok, chyba już stopnie pasują...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: a4karo » 7 gru 2019, o 15:43

Rozłóż \(u\)

Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Albo pomysł co ma być ilorazem

Dodano po 7 minutach 10 sekundach:
Zabawne zadanie, w którym nic nie trzeba liczyć. Suma pierwiastków \(w\) jest równa \(3\), a wielomianu \(u\) - \(2\).
Stąd wniosek, że brakującym pierwiastkiem \(w\) jest jedynka, czyli \(w(x)=u(x)(x-1)\).

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 7 gru 2019, o 15:59

Ilorazem będzie jakiś dwumian pierwszego stopnia.
Suma pierwiastków, niech zgadnę, wzory Viete'a?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: a4karo » 7 gru 2019, o 16:37

Tak

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 7 gru 2019, o 16:55

Ok dziękuję za pomoc :P

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Gosda » 8 gru 2019, o 11:05

Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ w(x) - u(x) (x-1) = a x^2 + 3 x^2 + b x - 11 x + c + 6}\) i sprawdzić, kiedy to jest tożsamościowo równe zero.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 8 gru 2019, o 15:06

Dziękuję bardzo tylko trzeba znać sumę pierwiastków wielomianu i już łatwo

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Gosda » 8 gru 2019, o 16:47

Nie trzeba, wystarczy zauważyć, że jeśli jeden wielomian dzieli drugi (a wiemy że tak jest z treści zadania), to porównując stopnie widzimy, że iloraz będzie liniowy: \(\displaystyle{ w(x) = (x - ?) \cdot u(x)}\) i sprawdzić tylko współczynniki przy \(\displaystyle{ x^3, x^4}\), bo dzielenie jest nieprzyjemne, a mnożenie przyjemne:

\(\displaystyle{ w(x) = x^4 - 3x ^3 + \ldots = x^4 -2x^3 -? x^3 + \ldots = (x-?) \cdot u(x)}\)

Zatem \(\displaystyle{ ? = 1}\) i dalej już tak jak pisałem.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: janusz47 » 8 gru 2019, o 19:50

Nie trzeba znać wzorów Viete'a, wystarczy pisemnie wykonać dzielenie wielomianów \(\displaystyle{ w(x) : u(x) }\) w trzech linijkach, jak dzieli się liczby i przyrównać współczynniki otrzymanego wielomianu reszty \(\displaystyle{ R(x) }\) do zera.

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} a\\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3\\ 11 \\ -6 \end{matrix} \right). }\)


tutaj podałem rozwiązanie podobnego zadania trzema metodami

viewtopic.php?f=27&t=443321&start=15

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wielomian z parametrami

Post autor: Niepokonana » 8 gru 2019, o 19:58

Panie Januszu, umiem dzielić, tylko biorąc pod uwagę moją dysgrafię, lepiej bym unikała dzielenia pisemnego dopóty to możliwe.

Dodano po 14 sekundach:
Ale dzięki za odpowiedź.

ODPOWIEDZ