Wielomian z parametrami

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, w poniedziałek mam test, a pewnych rzeczy nie umiem...
Co mam zrobić, jak mam wielomian z parametrami?
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a,b,c}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-3x^{3}+ax^{2}+bx+c}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ u(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6}\)

[a4karo]

Chyba nigdy

[Niepokonana]

Sorry, już poprawione. Stopnie mi się pomyliły...

[a4karo]

Nadal nigdy

[Niepokonana]

Ok, chyba już stopnie pasują...

[a4karo]

Rozłóż \(u\)

Dodano po 1 minucie 54 sekundach:
Albo pomysł co ma być ilorazem

Dodano po 7 minutach 10 sekundach:
Zabawne zadanie, w którym nic nie trzeba liczyć. Suma pierwiastków \(w\) jest równa \(3\), a wielomianu \(u\) - \(2\).
Stąd wniosek, że brakującym pierwiastkiem \(w\) jest jedynka, czyli \(w(x)=u(x)(x-1)\).

[Niepokonana]

Ilorazem będzie jakiś dwumian pierwszego stopnia.
Suma pierwiastków, niech zgadnę, wzory Viete'a?

[a4karo]

Tak

[Niepokonana]

Ok dziękuję za pomoc

[Gosda]

Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ w(x) - u(x) (x-1) = a x^2 + 3 x^2 + b x - 11 x + c + 6}\) i sprawdzić, kiedy to jest tożsamościowo równe zero.

[Niepokonana]

Dziękuję bardzo tylko trzeba znać sumę pierwiastków wielomianu i już łatwo

[Gosda]

Nie trzeba, wystarczy zauważyć, że jeśli jeden wielomian dzieli drugi (a wiemy że tak jest z treści zadania), to porównując stopnie widzimy, że iloraz będzie liniowy: \(\displaystyle{ w(x) = (x - ?) \cdot u(x)}\) i sprawdzić tylko współczynniki przy \(\displaystyle{ x^3, x^4}\), bo dzielenie jest nieprzyjemne, a mnożenie przyjemne:

\(\displaystyle{ w(x) = x^4 - 3x ^3 + \ldots = x^4 -2x^3 -? x^3 + \ldots = (x-?) \cdot u(x)}\)

Zatem \(\displaystyle{ ? = 1}\) i dalej już tak jak pisałem.

[janusz47]

Nie trzeba znać wzorów Viete'a, wystarczy pisemnie wykonać dzielenie wielomianów \(\displaystyle{ w(x) : u(x) }\) w trzech linijkach, jak dzieli się liczby i przyrównać współczynniki otrzymanego wielomianu reszty \(\displaystyle{ R(x) }\) do zera.

Odpowiedź:

\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} a\\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -3\\ 11 \\ -6 \end{matrix} \right). }\)


tutaj podałem rozwiązanie podobnego zadania trzema metodami

viewtopic.php?f=27&t=443321&start=15

[Niepokonana]

Panie Januszu, umiem dzielić, tylko biorąc pod uwagę moją dysgrafię, lepiej bym unikała dzielenia pisemnego dopóty to możliwe.

Dodano po 14 sekundach:
Ale dzięki za odpowiedź.