Znajdź pierwiastki wielomianu
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Znajdź pierwiastki wielomianu
Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}=1:2:3}\)
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}=1:2:3}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2019, o 16:34 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 1 raz.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Znajdź pierwiastki wielomianu
To jest pełna treść zadania? Jak na szkołę średnią dość dziwnie, prędzej bym się spodziewał polecenia że są w jakimś konkretnym stosunku na przykład \(\displaystyle{ 1:3:5}\) czy coś takiegoNiepokonana pisze: ↑5 gru 2019, o 16:17 Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}}\)
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Znajdź pierwiastki wielomianu
Możesz, przyjmij \(\displaystyle{ x_3 = 3t}\), \(\displaystyle{ x_2 = 2t}\), \(\displaystyle{ x_1 = t}\), wstaw trzy razy do równania \(\displaystyle{ w(x) = 0}\), znajdź \(\displaystyle{ t}\).
Ale ze wzorów Viete'a szybciej, bo suma pierwiastków jest Ci znana.
Ale ze wzorów Viete'a szybciej, bo suma pierwiastków jest Ci znana.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Znajdź pierwiastki wielomianu
A ok dzięki, bo nie było wzorów Viete'a dla trzeciego stopnia, ale uznajmy, że były.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Znajdź pierwiastki wielomianu
Można skorzystać z postaci iloczynowej wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) wszak wiedząc, że wielomian ma pierwiastki można zapisać:
\(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_2)}\)
wiedząc, że ów pierwiastki są w podanym stosunku można zapisać, że istnieje \(\displaystyle{ t}\) takie, że:
\(\displaystyle{ w(x)=(x-t)(x-2t)(x-3t)}\)
(wykorzystuje tu oznaczenia takie jak zaproponował Gosda). Z drugiej jednak strony wiemy, że \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\) zatem
\(\displaystyle{ \begin{cases} -6t=p\\11t^2=11 \\ -6t^3=q \end{cases} }\)
Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ t= \pm 1}\). Kładąc to do pierwszego i trzeciego równania dostaniemy \(\displaystyle{ p= \mp 6}\) oraz \(\displaystyle{ q= \mp 6}\) (przy czym obowiązuje konwencja górnego i dolnego znaku). Widać więc, że są dwa takie wielomiany.
\(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_2)}\)
wiedząc, że ów pierwiastki są w podanym stosunku można zapisać, że istnieje \(\displaystyle{ t}\) takie, że:
\(\displaystyle{ w(x)=(x-t)(x-2t)(x-3t)}\)
(wykorzystuje tu oznaczenia takie jak zaproponował Gosda). Z drugiej jednak strony wiemy, że \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\) zatem
\(\displaystyle{ (x-t)(x-2t)(x-3t)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)
\(\displaystyle{ x^3-6tx^2+11t^2x-6t^3=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)
Wiemy też, że wielomiany są równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe zatem musi zachodzić:\(\displaystyle{ \begin{cases} -6t=p\\11t^2=11 \\ -6t^3=q \end{cases} }\)
Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ t= \pm 1}\). Kładąc to do pierwszego i trzeciego równania dostaniemy \(\displaystyle{ p= \mp 6}\) oraz \(\displaystyle{ q= \mp 6}\) (przy czym obowiązuje konwencja górnego i dolnego znaku). Widać więc, że są dwa takie wielomiany.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy