Znajdź pierwiastki wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Niepokonana » 5 gru 2019, o 16:17

Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}=1:2:3}\)
Ostatnio zmieniony 5 gru 2019, o 16:34 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1450
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 460 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Psiaczek » 5 gru 2019, o 16:28

Niepokonana pisze:
5 gru 2019, o 16:17
Witam
Proszę o pomoc, powinnam to umieć, ale nie było mnie wtedy na lekcji.
Wyznacz pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\), jeżeli są w stosunku \(\displaystyle{ x_{1}:x_{2}:x_{3}}\)
To jest pełna treść zadania? Jak na szkołę średnią dość dziwnie, prędzej bym się spodziewał polecenia że są w jakimś konkretnym stosunku na przykład \(\displaystyle{ 1:3:5}\) czy coś takiego 8-)

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Niepokonana » 5 gru 2019, o 16:35

Wybacz Psiaczek zgubiłam resztę zadania, już poprawiłam.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5541
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1213 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: janusz47 » 5 gru 2019, o 16:52

Wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia.

viewtopic.php?t=51941

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Niepokonana » 5 gru 2019, o 16:54

Dobrze, dziękuję za pomoc, a da się to rozwiązać układem równań?

Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 43 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Gosda » 5 gru 2019, o 16:56

Możesz, przyjmij \(\displaystyle{ x_3 = 3t}\), \(\displaystyle{ x_2 = 2t}\), \(\displaystyle{ x_1 = t}\), wstaw trzy razy do równania \(\displaystyle{ w(x) = 0}\), znajdź \(\displaystyle{ t}\).

Ale ze wzorów Viete'a szybciej, bo suma pierwiastków jest Ci znana.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Niepokonana » 5 gru 2019, o 17:01

A ok dzięki, bo nie było wzorów Viete'a dla trzeciego stopnia, ale uznajmy, że były.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2553
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 793 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Janusz Tracz » 5 gru 2019, o 19:23

Można skorzystać z postaci iloczynowej wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) wszak wiedząc, że wielomian ma pierwiastki można zapisać:

\(\displaystyle{ w(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_2)}\)

wiedząc, że ów pierwiastki są w podanym stosunku można zapisać, że istnieje \(\displaystyle{ t}\) takie, że:

\(\displaystyle{ w(x)=(x-t)(x-2t)(x-3t)}\)

(wykorzystuje tu oznaczenia takie jak zaproponował Gosda). Z drugiej jednak strony wiemy, że \(\displaystyle{ w(x)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\) zatem

\(\displaystyle{ (x-t)(x-2t)(x-3t)=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)
\(\displaystyle{ x^3-6tx^2+11t^2x-6t^3=x^{3}+px^{2}+11x+q}\)
Wiemy też, że wielomiany są równe gdy ich współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe zatem musi zachodzić:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6t=p\\11t^2=11 \\ -6t^3=q \end{cases} }\)

Z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ t= \pm 1}\). Kładąc to do pierwszego i trzeciego równania dostaniemy \(\displaystyle{ p= \mp 6}\) oraz \(\displaystyle{ q= \mp 6}\) (przy czym obowiązuje konwencja górnego i dolnego znaku). Widać więc, że są dwa takie wielomiany.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Znajdź pierwiastki wielomianu

Post autor: Niepokonana » 5 gru 2019, o 19:24

Dziękuję bardzo

ODPOWIEDZ