Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 17:49

Witam
Proszę o pomoc. Czy istnieje jakiś inny sposób poza dzieleniem pisemnym? Umiem dzielenie pisemne, ale nie lubię.
Dla jakich \(\displaystyle{ a,b}\) wielomian ma dwukrotny pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}=2}\)? \(\displaystyle{ w(x)=x^{4}-4x^{3}+ax^{2}+8x+b}\)
Jak jest czwartego stopnia to pewnie ma cztery pierwiastki. Zastanawiam się, czy nie napisać postaci iloczynowej, rozpisać i porównać, ale to mi chyba nic nie da.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Jan Kraszewski » 30 lis 2019, o 17:51

Najprościej pochodną, ale tego pewnie nie miałaś.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: a4karo » 30 lis 2019, o 17:52

Wsk dwukrotny pierwiastek wielomianu jest też pierwiastkiem jego pochodnej

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 17:55

Czyli nie da się, no trudno. Nie, takie rzeczy podobno mają być pod koniec roku szkolnego czy coś.

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1450
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 460 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Psiaczek » 30 lis 2019, o 18:10

Niepokonana pisze:
30 lis 2019, o 17:49
Zastanawiam się, czy nie napisać postaci iloczynowej, rozpisać i porównać, ale to mi chyba nic nie da.
Może to coś da, kto wie :P

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=(x-2)^2(x^2+px+q)}\)

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=(x^2-4x+4)(x^2+px+q)}\)

\(\displaystyle{ x^4-4x^3+ax^2+8x+b=x^4+(p-4)x^3+(-4p+q+4)x^2+(4p-4q)x+4q}\)

porównując współczynniki przy jednakowych potęgach , mamy \(\displaystyle{ p=0}\) i dalej obliczamy \(\displaystyle{ q=-2,a=2,b=-8}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: a4karo » 30 lis 2019, o 18:13

Widzisz, Niepokonana. Nie nauczysz się, bo liczą za Ciebie.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 18:16

No widzę widzę, ale cieszę się, że sposób iloczynowy zadziała. ^^ Myślałam, że przyrównywanie będzie za ciężkie tj. będzie za dużo zmiennych.
Czy to będzie bardzo chamskie, jak powiem, że czuję się jak księżniczka z podwładnymi/doradcami?

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1450
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 460 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Psiaczek » 30 lis 2019, o 18:36

Niepokonana pisze:
30 lis 2019, o 18:16
Czy to będzie bardzo chamskie, jak powiem, że czuję się jak księżniczka z podwładnymi/doradcami?
Ja swoje uczennice traktuję jak księżniczki, a Ty jesteś w pewnym sensie moją internetową uczennicą , więc się nie obrażam :P

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 18:42

Dlaczego nie jesteś moim nauczycielem matematyki w prawdziwym życiu? Moja pani nas traktuje jak worki treningowe żeby się wykrzyczeć...
Dzięki Psiaczku za rozwiązanie, ale nie mogę brać gotowców, wiesz. Można mi tylko co najwyżej podpowiadać.

Dodano po 2 godzinach 43 minutach 47 sekundach:
Psiaczek pisze:
30 lis 2019, o 18:10

\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+ax^{2}+8x+b=(x-2)^{2}\red{(x^{2}+px+q)} }\)

A skąd się to czerwone wzięło? Tak nie wygląda przecie \(\displaystyle{ (x-p)(x-q)}\)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2019, o 21:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Kolor w otoczeniu matematycznym uzyskujemy inaczej: \red{...}

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2553
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 793 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Janusz Tracz » 30 lis 2019, o 21:33

Czerwone to dowolny wielomian \(\displaystyle{ 2}\) stopnia (prawie dowolny bo współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) jest \(\displaystyle{ 1}\) co można szybko pokazać) a dowolny wielomian \(\displaystyle{ 2}\) stopnia nie musi mieć wcale pierwiastków rzeczywistych więc przedstawiania go w postaci iloczynowej nie zawsze jest możliwe.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Dla jakich wartość a,b wielomian dzieli się...

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 21:51

A dobra dziękuję.

ODPOWIEDZ