Brak pierwiastków całkowitych

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 23:03

Śmiem twierdzić, że ten wielomian dla wszystkich liczb nieparzystych przyjmuje wartości nieparzyste.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 30 lis 2019, o 23:06

BRawo.

A jak jest nieparzysty w punkcie \(-238356\) ?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 23:13

To nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 30 lis 2019, o 23:15

Nie, to zbyt wczesny wniosek.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 30 lis 2019, o 23:20

jutro o tym porozmawiamy, dobranoc.

Dodano po 13 godzinach 30 minutach 25 sekundach:
Panie a4karo, zastanawiałam się nad tym. Żeby wielomian przyjmował wartości nieparzyste dla argumentów parzystych, jego wyraz wolny powinien być nieparzysty. Ale on przyjmuje wartości nieparzyste również dla argumentów nieparzystych, mając wyraz wolny nieparzysty. Z tego wynika, że suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=w(x)-a_{0}}\) jest parzysta.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 1 gru 2019, o 13:09

Zapomnij na chwile o wszystkim, co było do tej pory. Masz twierdzenie (które udowodniłaś):
Twierdzenie:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnej liczby całkowitej \(n\)
liczby
\(w(n)\) i \(w(n+2)\)
są tej samej parzystości.

Odpowiedz na nastepujące pytania:

a) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-625446)\) jest nieparzyste?
b) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(3167755)\) jest nieparzyste?
c) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-977437673400)\) jest parzyste?
d) Jaki wniosek wyciągniesz z faktu, że \(w(-995847811)\) jest nieparzyste?

Jak uogólnisz te obserwacje?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 1 gru 2019, o 13:40

a) No mówię, że wyraz wolny jest nieparzysty i liczba \(\displaystyle{ w(-625448)}\) też jest nieparzysta.
b) Że liczba \(\displaystyle{ w(3167757)}\) też jest nieparzysta
c) że \(\displaystyle{ w(-977437673402)}\) też jest parzyste.
d) \(\displaystyle{ w(−995847813)}\)też jest nieparzysta.
Wartości wielomianu Liczb tej samej parzystości są tej samej parzystości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 1 gru 2019, o 13:54

OK.
To teraz udowodnij taki wniosek:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że dla pewnej liczby parzystej \(p_0\) i dla pewnej liczby nieparzystej \(n_0\) liczby \(w(p_0)\) i \(w(n_0)\) są nieparzyste, to wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.

(Spróbuj nie myśleć o wyrazie wolnym :) )

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 1 gru 2019, o 14:16

Będę myśleć o wyrazie wolnym i już! :P
Jeżeli wielomian dla argumentu parzystego przyjmuje wartość nieparzystą, wyraz wolny jest nieparzysty.
Ok co wiemy o różnicy tych wartości... Jest ona na pewno parzysta.

Dodano po 4 minutach 51 sekundach:
No bo skoro dla liczb parzystych wartości wielomianu są nieparzyste, dla nieparzystych też, to nie może on przyjmować wartości parzystej zero dla liczb całkowitych.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 1 gru 2019, o 14:30

No właśnie. I po co był ten wyraz wolny :P

Spróbujesz teraz napisać formalny dowód tego, co zrobiłaś? Tzn najpierw formalny dowód twierdzenia, a potem wniosku?

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 1 gru 2019, o 14:34

W sensie z ostatnich dziesięciu postów? Ale jak napisać dowód formalny, nie znając znaczków ani języka polskiego na przyzwoitym poziomie?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 1 gru 2019, o 14:52

Jak gdzieś poczytasz dowody, to się nauczysz (niekoniecznie te pisane przez janusza47)

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 1 gru 2019, o 14:55

Muszę przyznać, że świetnie Pan zaorał pana Janusza. XD
W sensie mam udowodnić, że skoro \(\displaystyle{ w(0)}\) jest nieparzyste i tak samo \(\displaystyle{ w(1)}\) to wielomian nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: a4karo » 1 gru 2019, o 14:59

Chciałbym, żebyś spróbowała napisać formalny dowód twierdzenia
Twierdzenie:
Jeżeli \(w\) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla dowolnej liczby całkowitej \(n\)
liczby
\(w(n+2)\) i \(w(n)\)
są tej samej parzystości.

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Brak pierwiastków całkowitych

Post autor: Niepokonana » 1 gru 2019, o 15:11

No to jak to napisać... W sensie mam udowodnić, że są tej samej parzystości, bo ich różnica jest parzysta?
\(\displaystyle{ w(n+2)-w(n)=2a_{z}[(n+2)^{z-1}...+n^{z-1}]...+2a_{1}}\) i to jest parzyste dla \(\displaystyle{ n \in R}\)

ODPOWIEDZ