Brak pierwiastków całkowitych
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Brak pierwiastków całkowitych
Witam
Proszę o pomoc, ale nie o gotowca, gdyż próbuję sama zrobić zadanie. To w sumie nie jest praca domowa tylko żeby poćwiczyć sobie robię co nie.
No więc mamy sobie wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\) są liczbami nieparzystymi. Udowodnij, że ten wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Założenie: \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\); \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli liczb \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\).
Teza: \(\displaystyle{ x_{0}\notin \mathbb{C}}\)
Dowód:
Na pewno \(\displaystyle{ w(0)=d}\) przez co \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. No więc ja myślę, że muszę udowodnić, że wartość dla dzielnika liczby \(\displaystyle{ d}\) jest różna od zera, bo tak wynika z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.
Proszę o pomoc, ale nie o gotowca, gdyż próbuję sama zrobić zadanie. To w sumie nie jest praca domowa tylko żeby poćwiczyć sobie robię co nie.
No więc mamy sobie wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\) są liczbami nieparzystymi. Udowodnij, że ten wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Założenie: \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\); \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli liczb \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\).
Teza: \(\displaystyle{ x_{0}\notin \mathbb{C}}\)
Dowód:
Na pewno \(\displaystyle{ w(0)=d}\) przez co \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. No więc ja myślę, że muszę udowodnić, że wartość dla dzielnika liczby \(\displaystyle{ d}\) jest różna od zera, bo tak wynika z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 20:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Na Twoim miejscu nie przesadzałbym z tymi symbolami. Nie wiadomo, co to jest \(\displaystyle{ x_0}\), a \(\displaystyle{ \CC}\) to zbiór liczb zespolonych...
1. Możesz rozumować nie wprost.Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 20:34Na pewno \(\displaystyle{ w(0)=d}\) przez co \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. No więc ja myślę, że muszę udowodnić, że wartość dla dzielnika liczby \(\displaystyle{ d}\) jest różna od zera, bo tak wynika z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.
2. Zastanów się, co informacja o parzystości \(\displaystyle{ a+b+c}\) mówi o parzystości liczb \(\displaystyle{ a,b,c.}\)
JK
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
A mnie uczono, że to jest literka c bo liczby całkowite. A liczby \(\displaystyle{ x_{0}}\) to miejsca zerowe.
"1. Możesz rozumować nie wprost." Nie rozumiem tego zdania.
One wszystkie muszą być parzyste albo dwie nieparzyste i jedna parzysta.
"1. Możesz rozumować nie wprost." Nie rozumiem tego zdania.
One wszystkie muszą być parzyste albo dwie nieparzyste i jedna parzysta.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Pogrubiona literka \(\displaystyle{ \CC}\) to standardowe oznaczenie liczb zespolonych. Jak już koniecznie chcesz tę literkę, to zwykłą: \(\displaystyle{ C}\).
To jest symbol, który sam z siebie nic nie oznacza. Co więcej, nie ma potrzeby go używać. Po co? Zapisz tezę słowami.
Taka metoda dowodowa. Przypuszczasz fałszywość tezy i dowód polega na doprowadzeniu do sprzeczności.
No właśnie. Gdyby wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) miał pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ x_0}\), to byłby on liczbą ....Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 20:53One wszystkie muszą być parzyste albo dwie nieparzyste i jedna parzysta.
Z drugiej strony mamy \(\displaystyle{ 0=w(x_0)=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d}\) i badasz parzystość liczby \(\displaystyle{ ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d}\).
JK
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-3,5x^2+5,5x+3}\)
mamy \(\displaystyle{ W(0)=3, W(1)=5 , W(2)=0}\)
Wiem jestem złośliwy ale nie widzę nigdzie założenia że wielomian ma współczynniki całkowite.
mamy \(\displaystyle{ W(0)=3, W(1)=5 , W(2)=0}\)
Wiem jestem złośliwy ale nie widzę nigdzie założenia że wielomian ma współczynniki całkowite.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Ok dopiszemy do założenia, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) należą do liczb całkowitych.
Teza: miejsce zerowe wielomianu nie jest liczbą całkowitą. Zaprzeczeniem tezy jest: wielomian ma przynajmniej jedno miejsce zerowe będące liczbą całkowitą.
Nie wiem, co to są liczby zespolone, ale zakładam, że nie są one całkowite i wielomian może mieć jakieś miejsce zespolone.
Eee, jak tak sobie myślę... Weźmy sobie wielomian \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\). Dla iksów całkowitych będzie on przyjmował wartości podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). A d ma "wyzerować" tę wartość. Tylko nie ma takiej nieparzystej liczby, że jak się ją doda do parzystej, to wyjdzie zero. A jeżeli \(\displaystyle{ q(x)=0}\) to \(\displaystyle{ w(x) \neq 0}\), bo mamy \(\displaystyle{ d \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ d}\) nie może być zerem, bo zero jest parzyste.
Czyli w sumie taki wielomian nie ma miejsc zerowych całkowitych.
Teza: miejsce zerowe wielomianu nie jest liczbą całkowitą. Zaprzeczeniem tezy jest: wielomian ma przynajmniej jedno miejsce zerowe będące liczbą całkowitą.
Nie wiem, co to są liczby zespolone, ale zakładam, że nie są one całkowite i wielomian może mieć jakieś miejsce zespolone.
Eee, jak tak sobie myślę... Weźmy sobie wielomian \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\). Dla iksów całkowitych będzie on przyjmował wartości podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). A d ma "wyzerować" tę wartość. Tylko nie ma takiej nieparzystej liczby, że jak się ją doda do parzystej, to wyjdzie zero. A jeżeli \(\displaystyle{ q(x)=0}\) to \(\displaystyle{ w(x) \neq 0}\), bo mamy \(\displaystyle{ d \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ d}\) nie może być zerem, bo zero jest parzyste.
Czyli w sumie taki wielomian nie ma miejsc zerowych całkowitych.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
O to z grubsza chodzi. Tylko myślę, że warto by było dokładniej to uzasadnić (tzn. fakt, że dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ x}\) liczba \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx}\) jest parzysta). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą, to albo każda z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) jest parzysta, albo dokładnie dwie spośród nich są nieparzyste. W pierwszym przypadku to, co chcemy pokazać, jest oczywiste, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Z}}\) liczba \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx}\) jest parzysta jako suma liczb parzystych. W drugim przypadku nie jest to aż takie natychmiastowe, ale też nietrudne do rozpisania.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Ja to zauważyłam. XD No właśnie, jak to rozpisać.
Trzeba napisać, że są 2 przypadki dla \(\displaystyle{ q(x)}\). W obu trzeba napisać, że \(\displaystyle{ q(x)}\) przyjmuje wartości parzyste. Tylko jak, ja jestem dosyć na bakier z teorią, ale to normalne u mnie w klasie.
\(\displaystyle{ 2|a+b+c}\)... Nie umiem tego rozpisać wzorami.
Trzeba napisać, że są 2 przypadki dla \(\displaystyle{ q(x)}\). W obu trzeba napisać, że \(\displaystyle{ q(x)}\) przyjmuje wartości parzyste. Tylko jak, ja jestem dosyć na bakier z teorią, ale to normalne u mnie w klasie.
\(\displaystyle{ 2|a+b+c}\)... Nie umiem tego rozpisać wzorami.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
A po co wzorami? Opisz to słowami, będzie lepiej.Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 22:21\(\displaystyle{ 2|a+b+c}\)... Nie umiem tego rozpisać wzorami.
JK
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Oczywiście, tu nie chodzi o to, żeby używać na siłę jak najwięcej znaczków jak tylko się da, tylko o to żeby rozumowanie było po prostu poprawne.
-
- Administrator
- Posty: 34280
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
A dlaczego nie? Dowód to zapis rozumowania, zapisany zdaniami w języku polskim, w którym czasami używamy symboli dla skrócenia zapisu. Istotne jest to, żeby rozumowanie zostało opisane precyzyjnie.
Niestety w szkole czasem uważa się, że jak to nie są (prawie) same znaczki, to się nie liczy. A to tragiczna pomyłka.
JK
Niestety w szkole czasem uważa się, że jak to nie są (prawie) same znaczki, to się nie liczy. A to tragiczna pomyłka.
JK
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Ok to będzie tak. Pierwszy raz w życiu słyszę o dowodzenie, który nie jest napisany samymi działaniami. O.O
Wartość wielomianu \(\displaystyle{ w(0)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy d jest liczbą nieparzystą.
\(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ w(0)-d=ax^{3}+b^{2}+cx}\) jest liczbą parzystą, bo żeby uzyskać liczbę nieparzystą, do liczby nieparzystej należy dodać liczbę parzystą, czyli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.
Suma liczby parzystej i nieparzystej nie może być równa zero, co oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Co kończy dowód.
Wartość wielomianu \(\displaystyle{ w(0)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy d jest liczbą nieparzystą.
\(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ w(0)-d=ax^{3}+b^{2}+cx}\) jest liczbą parzystą, bo żeby uzyskać liczbę nieparzystą, do liczby nieparzystej należy dodać liczbę parzystą, czyli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.
Suma liczby parzystej i nieparzystej nie może być równa zero, co oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Co kończy dowód.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Re: Brak pierwiastków całkowitych
Jeśli kiedyś pójdziesz na studia matematyczne, to zobaczysz więcej.Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 22:53 Ok to będzie tak. Pierwszy raz w życiu słyszę o dowodzenie, który nie jest napisany samymi działaniami. O.O
Ale przecież właśnie to mieliśmy rozpisać i uzasadnić szczegółowo, że faktycznie dla dowolnej zmiennej całkowitej \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ 2 \mid q(x)}\).Niepokonana pisze: ↑28 lis 2019, o 22:53 Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.