Brak pierwiastków całkowitych

[Niepokonana]

Panie Januszu, proszę żadnych gotowców, ja próbuję się nauczyć myśleć. Chyba że chodzi o fizykę.

Mówi Pan bardziej ogólne stwierdzenie... Mogę się mylić, ale jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) są całkowite, jego wyraz wolny jest liczbą nieparzystą, a suma pozostałych współczynników wielomianu jest liczbą parzystą, wielomian ten nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych.

[Jan Kraszewski]

Mówi Pan bardziej ogólne stwierdzenie... Mogę się mylić, ale jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) są całkowite, jego wyraz wolny jest liczbą nieparzystą, a suma pozostałych współczynników wielomianu jest liczbą parzystą, wielomian ten nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych.

Myślę, że chodziło o inne uogólnienie. Zauważ, że powinnaś być w stanie stwierdzić nieistnienie pierwiastków całkowitych tylko na podstawie znajomości wartości wielomianu w dwóch wybranych argumentach. Jakich?

JK

[a4karo]

Na całym świecie we wszystkich szkołach zbiór liczb całkowitych jest oznaczany literą \(\displaystyle{ \ZZ }\) od pierwszej litery słowa niemieckiego "Zahlen" - liczby.

Tylko w szkołach polskich na oznaczenie tego zbioru używa się litery \(\displaystyle{ \CC. }\) Litera ta na całym świecie wykorzystywana jest na oznaczenie zbioru liczb zespolonych (jak stwierdził Pan Kraszewski) od pierwszej litery słowa angielskiego "Complex" - zespolony.

W polskich słowach na oznaczenie liczb całkowitych nie używa się symbolu \(\CC\) lecz \(C\).

Dodano po 4 minutach 47 sekundach:

Mówi Pan bardziej ogólne stwierdzenie... Mogę się mylić, ale jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) są całkowite, jego wyraz wolny jest liczbą nieparzystą, a suma pozostałych współczynników wielomianu jest liczbą parzystą, wielomian ten nie ma pierwiastków wśród liczb całkowitych.

Nie. To założenie oznacza dojście tyle co w oryginalnym zadaniu: \(w(0), w(1)\) nieparzyste.

JK dobrze sugeruje

[Niepokonana]

Jeżeli wartości wielomianu dla jakichkolwiek liczb parzystej i nieparzystej są liczbami nieparzystymi, wielomian ten nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych.

[Jan Kraszewski]

Lepiej: Jeżeli istnieje para liczb całkowitych różnej parzystości, dla których wielomian (o wsp. całkowitych) przyjmuje wartości całkowite nieparzyste, to wielomian ten nie ma pierwiastków całkowitych.

JK

[a4karo]

Ok. A twarz kolejny krok. Czy istotne było, że wielomian był stopnia trzy?

[janusz47]

Proszę nie uogólniać tego zadania na dowolny wielomian.

Pierwsza część dowodu podstawienie: \(\displaystyle{ l_{1} = 2k.}\)

Suma trzech liczb parzystych wynosi na przykład \(\displaystyle{ 2 + 4 + 6 = 12 }\) jest liczbą parzystą, aby wielomian \(\displaystyle{ w =0 }\) liczba \(\displaystyle{ d = ? }\) Czy może być liczbą nieparzystą jaką jest z założenia? Musi być liczbą przeciwną do liczby... czyli parzystą.


Druga część dowodu podstawienie: \(\displaystyle{ l = 2k+1. }\)

Suma trzech liczb parzystych wynosi na przykład \(\displaystyle{ 6 + 8 + 10 = 24 }\) jest liczbą parzystą, aby wielomian \(\displaystyle{ w = 0 }\) liczba \(\displaystyle{ (a+b+c+d) = ? }\) Czy może być liczbą nieparzystą jaką jest z założenia? Musi być liczbą przeciwną do liczby .... czyli parzystą.

[Niepokonana]

Nie, może być jakiegokolwiek stopnia.
Panie doktorze, panie a4karo, pan Janusz mi napisał, że dowód bez podstawienia to humanistyczny bełkot, i teraz nie wiem czy można pisać dowody słowami czy trzeba wzorami.

[Jan Kraszewski]

Proszę nie uogólniać tego zadania na dowolny wielomian.

Bo?

Pierwsza część dowodu podstawienie: \(\displaystyle{ l_{1} = 2k.}\)

Suma trzech liczb parzystych wynosi na przykład \(\displaystyle{ 2 + 4 + 6 = 12 }\) jest liczbą parzystą, aby wielomian \(\displaystyle{ w =0 }\) liczba \(\displaystyle{ d = ? }\) Czy może być liczbą nieparzystą jaką jest z założenia? Musi być liczbą przeciwną do liczby... czyli parzystą.


Druga część dowodu podstawienie: \(\displaystyle{ l = 2k+1. }\)

Suma trzech liczb parzystych wynosi na przykład \(\displaystyle{ 6 + 8 + 10 = 24 }\) jest liczbą parzystą, aby wielomian \(\displaystyle{ w = 0 }\) liczba \(\displaystyle{ (a+b+c+d) = ? }\) Czy może być liczbą nieparzystą jaką jest z założenia? Musi być liczbą przeciwną do liczby .... czyli parzystą.

Dałbyś spokój. Dziewczyna próbuje się czegoś nauczyć, a Ty cały czas wrzucasz swoje rozwiązania.

JK

[janusz47]

Panie Kraszewski

Teraz dopiero dziewczyna zrozumiała na czym polega dowód. Bez podstawień \(\displaystyle{ l = 2k, \ \ l =2k+1 }\) do wielomianu i przyjęciu założeń na \(\displaystyle{ w(0), \ \ w(1) }\) dowód "humanistyczny" nie jest dowodem.

[a4karo]

Stwierdzenie, że może być dowolnego stopnia wymaga dowodu. Przeprowadz go

Dodano po 1 minucie 14 sekundach:

Panie Kraszewski

Teraz dopiero dziewczyna zrozumiała na czym polega dowód. Bez podstawień \(\displaystyle{ l = 2k, \ \ l =2k+1 }\) do wielomianu i przyjęciu założeń na \(\displaystyle{ w(0), \ \ w(1) }\) dowód "humanistyczny" nie jest dowodem.

Człowiekowi, który rozumie co czyta, wystraczy.

[Jan Kraszewski]

pan Janusz mi napisał, że dowód bez podstawienia to humanistyczny bełkot, i teraz nie wiem czy można pisać dowody słowami czy trzeba wzorami.

No to ja Ci napiszę, żebyś nie zwracała na niego uwagi. Na poziomie szkoły średniej to nie jest bełkot, tylko całkiem porządny dowód, który pokazuje, że rozumiesz, o co chodzi.

Jak kogoś boli, że powołujemy się na stwierdzenia typu "suma dwóch liczb parzystych jest parzysta" albo "suma trzech liczb całkowitych jest parzysta dokładnie wtedy, gdy wszystkie są parzyste lub dokładnie jedna jest parzysta" bez formalnego uzasadniania tych faktów to już jego problem (oczywiście, możesz potem spróbować udowodnić sobie te fakty). Dla mnie ważniejsze jest, że potrafiłaś te zależności zauważyć i wykorzystać. Nauka bardziej formalnego (ściślejszego) zapisywania dowodów to kolejny krok - najpierw musisz nauczyć się, na czym to dowodzenie w ogóle polega.

JK

[Jan Kraszewski]

Teraz dopiero dziewczyna zrozumiała na czym polega dowód. Bez podstawień \(\displaystyle{ l = 2k, \ \ l =2k+1 }\) do wielomianu i przyjęciu założeń na \(\displaystyle{ w(0), \ \ w(1) }\) dowód "humanistyczny" nie jest dowodem.

Kolejne stwierdzenie "ex cathedra". Dla Ciebie może nie jest, ale proszę Cię, byś nie zamieniał kwantyfikatora egzystencjalnego na ogólny.

JK

[Niepokonana]

Panie Januszu, mówię, że bez gotowych rozwiązań.

Mój dowód jest taki, że nie ważne, ile będzie liczb \(\displaystyle{ a_{n}+a_{n-1}...+a_{1}}\) istnieje możliwość by ich suma była parzysta. Jeżeli ich suma jest parzysta, wielomian \(\displaystyle{ q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}...+a_{1}x}\) dla liczb całkowitych jest parzysta. Skoro \(\displaystyle{ a_{0}}\) jest nieparzyste a \(\displaystyle{ q(x)}\) dla liczb całkowitych przyjmuje wartości parzyste, to cały wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) dowolnego stopnia nie ma miejsc zerowych wśród liczb całkowitych.
A dziękuję Panie doktorze w takim razie nie będę się przejmować panem Januszem, zwłaszcza, że zignorował on moją prośbę.

[janusz47]

Proszę nie zajeżdżać w tym szkolnym zadaniu kwantyfikatorem egzystencjalnym czy może ogólnym.