Brak pierwiastków całkowitych

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, ale nie o gotowca, gdyż próbuję sama zrobić zadanie. To w sumie nie jest praca domowa tylko żeby poćwiczyć sobie robię co nie.
No więc mamy sobie wielomian trzeciego stopnia \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) i wiemy, że \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\) są liczbami nieparzystymi. Udowodnij, że ten wielomian nie ma pierwiastków całkowitych.
Założenie: \(\displaystyle{ w(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\); \(\displaystyle{ 2}\) nie dzieli liczb \(\displaystyle{ w(0)}\) i \(\displaystyle{ w(1)}\).
Teza: \(\displaystyle{ x_{0}\notin \mathbb{C}}\)
Dowód:
Na pewno \(\displaystyle{ w(0)=d}\) przez co \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. No więc ja myślę, że muszę udowodnić, że wartość dla dzielnika liczby \(\displaystyle{ d}\) jest różna od zera, bo tak wynika z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

[Jan Kraszewski]

Teza: \(\displaystyle{ x_{0}\notin \mathbb{C}}\)

Na Twoim miejscu nie przesadzałbym z tymi symbolami. Nie wiadomo, co to jest \(\displaystyle{ x_0}\), a \(\displaystyle{ \CC}\) to zbiór liczb zespolonych...

Na pewno \(\displaystyle{ w(0)=d}\) przez co \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. No więc ja myślę, że muszę udowodnić, że wartość dla dzielnika liczby \(\displaystyle{ d}\) jest różna od zera, bo tak wynika z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.

1. Możesz rozumować nie wprost.
2. Zastanów się, co informacja o parzystości \(\displaystyle{ a+b+c}\) mówi o parzystości liczb \(\displaystyle{ a,b,c.}\)

JK

[Niepokonana]

A mnie uczono, że to jest literka c bo liczby całkowite. A liczby \(\displaystyle{ x_{0}}\) to miejsca zerowe.

"1. Możesz rozumować nie wprost." Nie rozumiem tego zdania.

One wszystkie muszą być parzyste albo dwie nieparzyste i jedna parzysta.

[Jan Kraszewski]

A mnie uczono, że to jest literka c bo liczby całkowite.

Pogrubiona literka \(\displaystyle{ \CC}\) to standardowe oznaczenie liczb zespolonych. Jak już koniecznie chcesz tę literkę, to zwykłą: \(\displaystyle{ C}\).

A liczby \(\displaystyle{ x_{0}}\) to miejsca zerowe.

To jest symbol, który sam z siebie nic nie oznacza. Co więcej, nie ma potrzeby go używać. Po co? Zapisz tezę słowami.

"1. Możesz rozumować nie wprost." Nie rozumiem tego zdania.

Taka metoda dowodowa. Przypuszczasz fałszywość tezy i dowód polega na doprowadzeniu do sprzeczności.

One wszystkie muszą być parzyste albo dwie nieparzyste i jedna parzysta.

No właśnie. Gdyby wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) miał pierwiastek całkowity \(\displaystyle{ x_0}\), to byłby on liczbą ....
Z drugiej strony mamy \(\displaystyle{ 0=w(x_0)=ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d}\) i badasz parzystość liczby \(\displaystyle{ ax_0^3+bx_0^2+cx_0+d}\).

JK

[Psiaczek]

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-3,5x^2+5,5x+3}\)

mamy \(\displaystyle{ W(0)=3, W(1)=5 , W(2)=0}\)

Wiem jestem złośliwy ale nie widzę nigdzie założenia że wielomian ma współczynniki całkowite.

[Jan Kraszewski]

Wiem jestem złośliwy ale nie widzę nigdzie założenia że wielomian ma współczynniki całkowite.

Szkolne wielomiany z definicji mają współczynniki całkowite...

JK

[Niepokonana]

Ok dopiszemy do założenia, że \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) należą do liczb całkowitych.
Teza: miejsce zerowe wielomianu nie jest liczbą całkowitą. Zaprzeczeniem tezy jest: wielomian ma przynajmniej jedno miejsce zerowe będące liczbą całkowitą.
Nie wiem, co to są liczby zespolone, ale zakładam, że nie są one całkowite i wielomian może mieć jakieś miejsce zespolone.

Eee, jak tak sobie myślę... Weźmy sobie wielomian \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\). Dla iksów całkowitych będzie on przyjmował wartości podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\). A d ma "wyzerować" tę wartość. Tylko nie ma takiej nieparzystej liczby, że jak się ją doda do parzystej, to wyjdzie zero. A jeżeli \(\displaystyle{ q(x)=0}\) to \(\displaystyle{ w(x) \neq 0}\), bo mamy \(\displaystyle{ d \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ d}\) nie może być zerem, bo zero jest parzyste.
Czyli w sumie taki wielomian nie ma miejsc zerowych całkowitych.

[MrCommando]

O to z grubsza chodzi. Tylko myślę, że warto by było dokładniej to uzasadnić (tzn. fakt, że dla każdego całkowitego \(\displaystyle{ x}\) liczba \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx}\) jest parzysta). Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą, to albo każda z liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) jest parzysta, albo dokładnie dwie spośród nich są nieparzyste. W pierwszym przypadku to, co chcemy pokazać, jest oczywiste, bo dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Z}}\) liczba \(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx}\) jest parzysta jako suma liczb parzystych. W drugim przypadku nie jest to aż takie natychmiastowe, ale też nietrudne do rozpisania.

[Niepokonana]

Ja to zauważyłam. XD No właśnie, jak to rozpisać.
Trzeba napisać, że są 2 przypadki dla \(\displaystyle{ q(x)}\). W obu trzeba napisać, że \(\displaystyle{ q(x)}\) przyjmuje wartości parzyste. Tylko jak, ja jestem dosyć na bakier z teorią, ale to normalne u mnie w klasie.

\(\displaystyle{ 2|a+b+c}\)... Nie umiem tego rozpisać wzorami.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 2|a+b+c}\)... Nie umiem tego rozpisać wzorami.

A po co wzorami? Opisz to słowami, będzie lepiej.

JK

[Niepokonana]

I to się wtedy zaliczy jako dowód?

[MrCommando]

Oczywiście, tu nie chodzi o to, żeby używać na siłę jak najwięcej znaczków jak tylko się da, tylko o to żeby rozumowanie było po prostu poprawne.

[Jan Kraszewski]

A dlaczego nie? Dowód to zapis rozumowania, zapisany zdaniami w języku polskim, w którym czasami używamy symboli dla skrócenia zapisu. Istotne jest to, żeby rozumowanie zostało opisane precyzyjnie.

Niestety w szkole czasem uważa się, że jak to nie są (prawie) same znaczki, to się nie liczy. A to tragiczna pomyłka.

JK

[Niepokonana]

Ok to będzie tak. Pierwszy raz w życiu słyszę o dowodzenie, który nie jest napisany samymi działaniami. O.O
Wartość wielomianu \(\displaystyle{ w(0)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy d jest liczbą nieparzystą.
\(\displaystyle{ W(1)}\) jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ w(0)-d=ax^{3}+b^{2}+cx}\) jest liczbą parzystą, bo żeby uzyskać liczbę nieparzystą, do liczby nieparzystej należy dodać liczbę parzystą, czyli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą. Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.


Suma liczby parzystej i nieparzystej nie może być równa zero, co oznacza, że wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) nie ma pierwiastków całkowitych.
Co kończy dowód.

[MrCommando]

Ok to będzie tak. Pierwszy raz w życiu słyszę o dowodzenie, który nie jest napisany samymi działaniami. O.O

Jeśli kiedyś pójdziesz na studia matematyczne, to zobaczysz więcej.

Jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c}\) jest liczbą parzystą to wartość wielomianu \(\displaystyle{ q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx}\) dla dowolnej zmiennej x należącej do zbioru liczb całkowitych jest liczbą parzystą.

Ale przecież właśnie to mieliśmy rozpisać i uzasadnić szczegółowo, że faktycznie dla dowolnej zmiennej całkowitej \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ 2 \mid q(x)}\).