Matematyka.pl

Rozłóż wielomian
\(\displaystyle{ x^{12} − 1 }\)
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czy ktoś pamięta wzór na to uwzględniający liczbę sprzężoną, albo po prostu zna metodę, nie licząc rozkładania na piechotę.

Wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia to jest rozkładanie na piechotę

Myślałem, że rozkładanie na piechotę to korzystanie z twierdzenia Bezouta No nic, dla mnie to i tak najszybsza metoda, jak się pamięta wzory to rozwiązanie można zapisać w kilkanaście sekund...

\(\displaystyle{ a^{n} -b^{n} = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ...+ ab^{n-2} + b^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ a = x, \ \ b = 1, \ \ n = 12. }\)

\(\displaystyle{ x^{12} -1 =...}\)

\(\displaystyle{ (x-1)(x^11+x^10+....+x+1) }\)
Chociaż nie wiem co to właściwie mi daje. Dobra będę robić wzorami po prostu

No i po co aż tak. Nie łatwiej zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{12}-1=(x^6)^2-1^2}\) i korzystać kilka razy z prostszych wzorów?

$$x^{12}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^5\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}-i\sin\frac{k\pi}{6}\right)\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)$$