Rozkład wielomianu

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Rozkład wielomianu

Post autor: Nadine » 27 lis 2019, o 15:53

Rozłóż wielomian
\(\displaystyle{ x^{12} − 1 }\)
na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.
Czy ktoś pamięta wzór na to uwzględniający liczbę sprzężoną, albo po prostu zna metodę, nie licząc rozkładania na piechotę.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3426
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 630 razy

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: AiDi » 27 lis 2019, o 16:19

Wzory skróconego mnożenia.

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: Nadine » 27 lis 2019, o 16:31

Wzory skróconego mnożenia to jest rozkładanie na piechotę

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3426
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 630 razy

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: AiDi » 27 lis 2019, o 16:42

Myślałem, że rozkładanie na piechotę to korzystanie z twierdzenia Bezouta :P No nic, dla mnie to i tak najszybsza metoda, jak się pamięta wzory to rozwiązanie można zapisać w kilkanaście sekund...

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5541
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1213 razy

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: janusz47 » 27 lis 2019, o 16:56

\(\displaystyle{ a^{n} -b^{n} = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ...+ ab^{n-2} + b^{n-1})}\)

\(\displaystyle{ a = x, \ \ b = 1, \ \ n = 12. }\)

\(\displaystyle{ x^{12} -1 =...}\)

Nadine
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: Nadine » 27 lis 2019, o 17:07

\(\displaystyle{ (x-1)(x^11+x^10+....+x+1) }\)
Chociaż nie wiem co to właściwie mi daje. Dobra będę robić wzorami po prostu

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3426
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 630 razy

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: AiDi » 27 lis 2019, o 17:07

No i po co aż tak. Nie łatwiej zauważyć, że \(\displaystyle{ x^{12}-1=(x^6)^2-1^2}\) i korzystać kilka razy z prostszych wzorów?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2962 razy

Re: Rozkład wielomianu

Post autor: a4karo » 27 lis 2019, o 17:16

$$x^{12}-1=(x-1)(x+1)\prod_{k=1}^5\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}-i\sin\frac{k\pi}{6}\right)\left(x-\cos\frac{k\pi}{6}+i\sin\frac{k\pi}{6}\right)$$

ODPOWIEDZ