Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

Witam
Proszę o pomoc. Muszę podzielić przez wielomian \(\displaystyle{ q(x)=(x+1)^{2}(x-1)}\).
Czyli powtarza się w dzielniku \(\displaystyle{ x+1}\)... Jak mam podzielić długi wielomian przez takie coś?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: kerajs »

Pisemnie dzielisz swój wielomian przez \(\displaystyle{ q(x)=x^3+x^2-x-1}\)

Robisz podobnie jak w punkcie 6 w temacie viewtopic.php?t=28951 gdzie masz:
\(\displaystyle{ \begin{array}{lll}
(x^4 - 3x^3 + 3x^2 -4x + 3) & : & (x-1) = x^3 - 2x^2 + x -3 \\
\underline{-x^4 + x^3} & & \\
\qquad -2x^3 + 3x^2 -4x +3 & & \\
\qquad \ \ \underline{2x^3 - 2x^2} & &\\
\qquad \qquad \qquad x^2 - 4x + 3 & & \\
\qquad \qquad \quad \underline{-x^2 + x} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad -3x + 3 & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \underline{3x - 3} & & \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \quad = \ = & &
\end{array}}\)
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

Ale to jest z twierdzenia Bezouta, więc trzeba je wykorzystać...
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: kerajs »

Wobec tego przedstaw pełną treść zadania, a nie jedynie jego fragment (na który zresztą udzieliłem odpowiedzi).
Pewnie jest coś tam z brakiem reszty i/lub jakimiś parametrami.
Antycypuję że wielomian \(\displaystyle{ F(x)}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ q(x)}\) więc należy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} F(-1)=0 \\ F'(-1)=0 \\ F(1)=0\end{cases} }\)
Zgadza się?
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

No dobrze, nie chciałam dawać całości, bo nie lubię długich wielomianów (o stopniach wyższych niż trzeci), ale dam.
Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ q(x)}\).
\(\displaystyle{ w(x)=5x^{4}+(a-b)x^{3}+(3b-2a)x^{2}-6x-1}\) a \(\displaystyle{ q(x)}\) już mówiłam.

Wiesz, ja nie chcę się Tobą wyręczać, ale to jest tak, że nie umiem. W rozkładzie \(\displaystyle{ w(x)}\) musi być dwa razy \(\displaystyle{ (x+1)}\) i jeden raz \(\displaystyle{ (x-1)}\) to akurat wiem, ale jak to zrobić.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski »

No to wiesz, że \(\displaystyle{ w(x)=5x^{4}+(a-b)x^{3}+(3b-2a)x^{2}-6x-1=q(x)\cdot p(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ p(x)}\). No i teraz korzystasz z tego, że znasz pierwiastki \(\displaystyle{ q(x).}\)

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

Ale jak mam to wykorzystać? Mam podzielić schematem Hornera, żeby uzyskać \(\displaystyle{ p(x)}\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski »

Wstawić! Nic nie dzielisz.

Dostajesz, że \(\displaystyle{ w(1)=w(-1)=0}\), czyli dwa równania z dwiema niewiadomymi.

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

I jak tak zrobię to już mi wyjdzie? Ale raz tak zrobiłam i nie wyszło, nie wiem czemu.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski »

No to pokaż, co robiłaś...

JK
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

2 poprzednie przykłady mi wyszły a ten nie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=5+a-b+3b-2a-b-1 \\ 5+b-a+3b-2a+b-1\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}0=b-a-2\\0=5b-3a+10 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ a=b-2}\)
\(\displaystyle{ 0=2b+16; b=8; a=6}\) i to nie jest prawda... Chyba coś źle policzyłam. Na pewno brakuje minusa przy \(\displaystyle{ b}\), ale nawet jeżeli go dopiszę, to i tak to się nie będzie zgadzać.
Ostatnio zmieniony 26 lis 2019, o 19:28 przez Niepokonana, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Psiaczek »

Niepokonana pisze: 26 lis 2019, o 19:19 2 poprzednie przykłady mi wyszły a ten nie.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=5+a-b+3b-2a-b-1 \\ 5+b-a+3b-2a+b-1\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}0=b-a-2\\0=5b-3a+10 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ a=b-2}\)
\(\displaystyle{ 0=2b+16; b=8; a=6}\) i to nie jest prawda... Chyba coś źle policzyłam. Na pewno brakuje minusa przy \(\displaystyle{ b}\), ale nawet jeżeli go dopiszę, to i tak to się nie będzie zgadzać.
powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ a=14,b=8}\) i wielomian \(\displaystyle{ 5x^4+6x^3-4x^2-6x-1=(x+1)^2(x-1)(5x+1)}\)

myślę że w obydwu równaniach masz pewne błędy
Ostatnio zmieniony 26 lis 2019, o 19:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

Też tak myślę, ale pytanie jest gdzie dokładnie.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Psiaczek »

Niepokonana pisze: 26 lis 2019, o 19:29 Też tak myślę, ale pytanie jest gdzie dokładnie.
\(\displaystyle{ 5+(b-a)+(3b-2a)+5=0}\)

\(\displaystyle{ 5+(a-b)+(3b-2a)-7=0}\)

Taki miałaś początek? z tego dobrze wychodzi :P
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana »

Ja mam dokładnie tak jak napisałam, więc nie.
Ale dzięki Psiaczku.
ODPOWIEDZ