Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski » 26 lis 2019, o 19:43

Niepokonana pisze:
26 lis 2019, o 19:35
Ja mam dokładnie tak jak napisałam, więc nie.
No nie masz dokładnie tak. Ty masz

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0=5+a-b+3b-2a-\red{b}-1 \\ 5+b-a+3b-2a+\red{b}-1.\end{cases}}\)

Potem już jest jakiś Sajgon, bo zupełnie nie wiadomo, skąd wzięłaś

\(\displaystyle{ \begin{cases}0=b-a-2\\0=5b-3a+10. \end{cases}}\)

Wygląda trochę tak, jakby to czerwone \(\displaystyle{ b}\), które powinno być szóstką, rozdwoiło się i zostało policzone dwukrotnie: raz jako \(\displaystyle{ b}\) i raz jako \(\displaystyle{ 6}\)...

JK
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana » 26 lis 2019, o 21:38

Ale jak mi Psiaczek powiedział, jak ma być, to będzie dobrze.
Tak szczerze, to u mnie b i sześć wyglądają tak samo. Jak tak dalej pójdzie, to będę pisać japońskie sześć zamiast polskiego XD

Dodano po 29 sekundach:
Pan doktor nie zrozumiał. Ja napisałam, że dokładnie przepisałam z zeszytu bez pomijania niczego, a nie że dobrze napisałam.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski » 26 lis 2019, o 21:49

Czyli rozumiem, że problem rozwiązałaś.

A na zapis i przekształcenia algebraiczne musisz uważać - na tym bardzo łatwo położyć zadanie, a takie błędy bolą najbardziej...

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana » 26 lis 2019, o 22:37

No tak, dziękuję.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17540
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2957 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: a4karo » 26 lis 2019, o 22:49

Zadane warunki dają TRZY równania: \(w(-1)=w'(-1)=w(1)=0\). To,że ładnie wyszło jest raczej dziełem przypadku :) (albo celowym działaniem układacza zadania.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski » 26 lis 2019, o 22:50

Raczej celowym. W szkole pochodnych nie używa się raczej w tym kontekście.

JK

Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 713
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 141 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Niepokonana » 26 lis 2019, o 22:58

Właśnie mnie to zdziwiło, bo są trzy miejsca zerowe, z czego dwa takie same.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25981
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: Jan Kraszewski » 26 lis 2019, o 23:03

Są dwa miejsca zerowe, z czego jedno podwójne.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5531
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1211 razy

Re: Twierdzenie Bezouta dzielenie przez...

Post autor: janusz47 » 27 lis 2019, o 13:54

Metoda pierwsza (bezpośrednie dzielenie wielomianów)

Wykonujemy pisemnie dzielenie wielomianów:

\(\displaystyle{ w(x): q(x) }\)

\(\displaystyle{ (5x^4 +(a-b)x^3 +(-2a +3b)x^2 -6x -1): (x^3 +x^2 -x -1) = 5x + (a -b -5) }\)
\(\displaystyle{ -5x^4 - 5x^3 \ \ + \ \ 5x^2 \ \ + \ \ 5x }\)
_________________________________________________________
\(\displaystyle{ (a-b-5)x^3 + (-2a+3b+5)x^2 -x -1 }\)
\(\displaystyle{ -(a-b-5)x^3 -(a-b-5)x^2 + (a-b-5)x +(a- b-5)}\)
_________________________________________________________
\(\displaystyle{ (-3a +4b +10) x^2 +(a- b -6)x + (a- b -6) }\)

Otrzymaliśmy wielomian reszty

\(\displaystyle{ r(x) = (-3a +4b +10)x^2 +(a-b -6)x +(a-b-6) }\)

Żądamy, aby \(\displaystyle{ r(x) = 0 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3a +4b +10 = 0 \\ a- b -6 = 0 \end{cases} }\)

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 14 \\ b = 8. \end{cases} }\)

Metoda druga (tabelkowy schemat Hornera)

Uwzględniamy rozkład wielomianu \(\displaystyle{ q }\) na czynniki

\(\displaystyle{ q(x) = x^3 +x^2 -x -1 = (x-1)^2 \cdot (x+1). }\)

Dzielimy wielomian \(\displaystyle{ w(x) }\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x - 1) }\)

Tabelka 1
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
& 5 & a-b & -2a +3b & -6 & -1 \\ \hline
1& 5 & a -b -5 & -a +2b +5 & -a +2b -1 & -a + 2b -2 \\ \hline
\end{tabular} }\)


Dzielimy wielomian \(\displaystyle{ w_{1}(x) = 5x^3 +(a-b-5)x^2 +(-a +2b+5)x -a +2b -1}\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x - 1) }\)

Tabelka 2
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
& 5 & a-b-5 & -a +2b +5 & -a +2b-1 \\ \hline
1& 5 & a -b + 10 & b+ 15 & -a +3b +14 \\ \hline
\end{tabular} }\)


Dzielimy wielomian \(\displaystyle{ w_{2}(x) = 5x^2 -(a -b +10)x + b+15 }\) przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1) }\)

Tabelka 3
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
& 5 & a-b+10 & b+15 \\ \hline
-1& 5 & a -b + 5 & a+10 \\ \hline
\end{tabular} }\)


Wielomian \(\displaystyle{ w(x) }\) przedstawiamy w postaci Hornera

\(\displaystyle{ w(x) = (x-1)[(x-1)[(x+1)[5x + (-a+b +5)]+(a+10)] +(-a -3b +14)] + (-a +2b -2)] }\)

Z postaci tej wynika, że wielomian \(\displaystyle{ w(x) }\) dzieli się bez reszty przez wielomian \(\displaystyle{ q(x) }\)

gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3b + 24 = 0 \\ -a +2b -2 = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 14, \\ b = 8. \end{cases} }\)

Metoda trzecia (rozkładu wielomianu)

Przedstawiamy wielomian \(\displaystyle{ w(x) }\) w postaci iloczynu:

\(\displaystyle{ w(x) = q(x)\cdot (cx +d) }\)

\(\displaystyle{ 5x^4 +(a-b)x^3 +(-2a +3b)x^2 -6x -1 = (x^3 +x^2 -x -1)(cx +d) }\)

\(\displaystyle{ 5x^4 +(a-b)x^3 +(-2a +3b)x^2 -6x -1 = cx^4 +cx^3 -cx^2 -cx +dx^3 +dx^2 -dx -d }\)

\(\displaystyle{ 5x^4 +(a-b)x^3 +(-2a +3b)x^2 -6x -1 = cx^4 + (c+d)x^3 +(-c+d)x^2 +(-c-d)x -d }\)

Porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach jednomianów

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5 = c\\ a-b = c+d\\ -2a +3b = -c +d \\ -6 = -c-d \\ -d = -1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c = 5 \\ a-b = c+d \\ -2a +3b = -c+ d \\ -6 = -c-d \\ d = 1 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a-b = 6 \\ -2a +3b = -4 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 14 \\ b = 8. \end{cases} }\)

ODPOWIEDZ