Twierdzenie Bezouta

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, ja nie wiem, co ja mam biedna zrobić, gdy mam wielomian \(\displaystyle{ q(x)=2x-2a}\) zamiast \(\displaystyle{ q(x)=x-a}\).

Oblicz resztę dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ w(x)}\) przez \(\displaystyle{ u(x)=2x^2+9x-5=(2x-1)(x+5)}\), jeżeli reszta z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ 10}\), a przez \(\displaystyle{ x+5}\) wynosi \(\displaystyle{ -6,5}\).
Gdyby nie było dwójki przy iksie, to bym umiała.

[Gosda]

Wszystko dobrze przepisałaś? A może zamiast \(\displaystyle{ x-5}\) powinno być \(\displaystyle{ x+5}\)?

[Niepokonana]

Emmm powinno być x+5

Dodano po 21 sekundach:
Ja to poprawię, ok? Żeby już było dobrze.

[MrCommando]

Mamy \(\displaystyle{ 2x-1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)}\) i już nie ma dwójki przy iksie. Robi się dokładnie tak samo.

[Niepokonana]

A co się dzieje z dziesiątką, która jest resztą? Czy reszta z dzielenia \(\displaystyle{ x-0,5}\) wynosi \(\displaystyle{ 5}\)?

[MrCommando]

Wielomian \(\displaystyle{ w(x)}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ 2x-1}\), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian stopnia zerowego, tj. liczba rzeczywista \(\displaystyle{ R}\), że \(\displaystyle{ w(x)=(2x-1)p(x)+R}\), gdzie \(\displaystyle{ p(x)}\) jest pewnym wielomianem. W naszym przypadku \(\displaystyle{ R=10}\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ w\left(\frac{1}{2}\right)=10}\).

[Gosda]

Wiesz, że \(\displaystyle{ w(x) = f(x) \cdot (2x - 1) + 10}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest jakimś wielomianem o wymiernych współczynnikach. Zatem

\(\displaystyle{ w(x) = (\frac 12 \cdot f(x))(x - \frac 12) + 10}\),

to znaczy reszta z dzielenia się nie zmienia.

[Niepokonana]

Ufff, co za ulga, dziękuję za pomoc.

[Gosda]

Mała pomyłka: zamiast \(\displaystyle{ \frac 12 f(x)}\) powinno być oczywiście \(\displaystyle{ 2f(x)}\), ale wnioski są takie same.